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几何模型03——对角互补模型 一、对角互补双90°模型（构造全等） 1.双90°型 （1）【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOB 【结论】：①；②；③ （2）当∠DCE的一边交AO的延长线于D时 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOB 【结论】：①；②；③ 例1.如图，正方形ABCD中，AC是对角线， （1）如图1，当点Q在DC边上时，证明：PB＝PQ （2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，证明：PB＝PQ 证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD， ∵P，C为正方形对角线AC上的点， ∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE， ∴四边形PECF为正方形，∵∠BPE+∠QPE＝90°， ∠QPE+∠QPF＝90°，∴∠BPE＝∠QPF， ∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB＝PQ； （2）证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD， ∵P，C为正方形对角线AC上的点， ∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE， ∴四边形PECF为正方形， ∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°， ∴∠BPE＝∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB＝PQ． 练习1.如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，这两个正方形重叠部分的面积为　 　． 练习2.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是AB，BC上的点，连接EF．若AE＝4，CF＝3，OE⊥OF，求EF的长． 练习3.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为（0，2），B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM＝3，求点B的坐标． 例2.四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角△ABD和直角△CBD，其中∠A和∠C都是直角，另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积． 解：将△ABC绕点A旋转90°，使B与D重合，C到C′点， 则有∠CDC′＝∠ADC+∠ADC′＝∠ADC+∠ABC＝180°， 所以C、D、C′在同一直线上，又因为AC＝AC′， 所以△ACC′是等腰直角三角形，在△ABC和△ADC′中 ∴△ABC≌△ADC′（SAS）， ∴四边形ABCD的面积等于等腰直角三角形ACC′的面积， 所以S四边形ABCD＝S△ACC′＝×2×2＝2． 练习4.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，求BE的长． 例3.已知：△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点，且满足∠ADB＝90°， （1）如图1所示，求证：DA+DB＝DC； （2）如图2所示，求证：DA﹣DB＝CD （3）如图3所示，过C作CH⊥BD于H，BD＝6，AD＝3，求CH 证明：（1）如图，过C点作CQ⊥CD交DB的延长线于Q点 ∵∠ACB＝90°，CQ⊥CD，∠ADB＝90° ∴∠ACD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠QCB＝90°， ∠ADC+∠CDQ＝90°，∠CDQ+∠Q＝90° ∴∠ACD＝∠QCB，∠ADC＝∠Q，且AC＝BC ∴△ACD≌△BCQ（AAS）∴CD＝CQ，AD＝BQ ∴DQ＝DB+BQ＝DB+AD∵CD⊥CQ，∠DCQ＝90° ∴DQ＝CD∴DB+AD＝CD （2）证明：如图，过点C作CQ⊥CD交AD于点Q， ∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠CAB＝45° ∵∠ACB＝90°，QC⊥CD∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∴点A，点B，点D，点C四点共圆， ∴∠ADC＝∠ABC＝45° ∵QC⊥CD∴∠CQD＝∠CDQ＝45°∴CQ＝CD，且∠QCD＝90° ∴QD＝CD∵∠ACB＝∠DCQ＝90°， ∴∠ACQ＝∠DCB，且AC＝BC，CQ＝CD ∴△ACQ≌△BCD（SAS）∴AQ＝BD ∴QD＝CD＝DA﹣AQ＝DA﹣BD （3）如图，过点C作CQ⊥CD交BD于点Q， ∵∠ACB＝90°，QC⊥CD∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∴点A，点B，点C，点D四点共圆，∴∠CDQ＝∠CAB＝45°∵QC⊥CD ∴∠CQD＝∠CDQ＝45°∴CQ＝CD，且∠QCD＝90°∴△DCQ是等腰直角三角形， ∵∠ACB＝∠DCQ＝90°，∴∠ACD＝∠QCB，且AC＝BC，CQ＝CD ∴△ACD≌△BCQ（SAS）∴AD＝BQ，∴DQ＝DB﹣BQ＝DB﹣AD＝3 ∵△DCQ是等腰直角三角形，DQ＝3，CH⊥DB∴CH＝DH＝HQ＝DQ＝ 练习5.如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，且DE＝2CE，连接BE．过点