将军饮马问题（初三数学最全最短路径问题）.docxVIP

几何模型08——将军饮马问题 一、一动两定（和最小） 两种类型： 例1.如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若 AB＝6，AC＝4，BC＝7，则△APC周长的最小值是________ 变式1.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，AD=3，BE=4， P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于CP+EP最小值的是________ 变式2.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD 上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是________ 变式3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6．AB＝12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为________ 例2.如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值为________ 变式1.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方 形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为_______ 变式2.如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点当PC+PD最小时，∠PCD＝_______ ． 变式3.如图，正方形OABC的边长为6，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D（2，0）在OA上，P是OB上一动点，则PA+PD的最小值为_______ 例3.如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为_____ 变式1.如图，MN是半径为2的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为_____ 变式2.如图，已知⊙O中直径AB＝8，半径OC⊥AB，点D是半圆的三等分点，点P是半径OC上的动点，当PB+PD的值最小时，PO的长为 _____ 变式3.如图，MN是⊙O的直径，MN＝8，∠AMN＝20°，点B为弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为　　． 例4.如图，点C的坐标为（3，y），使△ABC的周长最短，求y的值． 变式1.一次函数y＝﹣2x+4的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）． O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时直线PC与直线AB的交点坐标． 变式2.抛物线y＝﹣x2﹣2x+3．与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，设（1）中的抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3.如图如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点．点D的坐标为（0，2），若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标． 变式4.∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB＝30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为　 　． 二、一动两定（差最大） 最大 例1.如图，正方形中，，是上的一点，且，是上的一动点．的最大值． 变式1.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则|PA﹣PB|的最大值为　 　． 三、一定两动 基本图形： 例1.如图，在锐角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是　 　． 变式1.如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是　 　． 变式2.如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝30°，OP＝8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为　 　． 变式3.如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且，点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是　 　． 变式4.如图，△ABC中，AB＝4，∠BAC＝30°，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，则这个最小值为　　． 例2.如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是　 　． 变式1.