立体几何空间成角问题.ppt

第一页，共十五页，2022年，8月28日 高三数学复习课 复 习 内 容：空 间 中 的 角 复习要求：理解空间三种角的概念 并掌握其求法 第二页，共十五页，2022年，8月28日 请安静 第三页，共十五页，2022年，8月28日 空间的角的概念及其计算，是立体几何的基本内容，也是其重点和难点。 求空间角的一般步骤是： 空间中的角有： 异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角。 1、异面直线所成的角 根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角,就是要将其变换成相交直线所成有角。其一般方法有： （1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。 (1)找出或作出有关的图形；(2)证明它符合定义； (3)计算。 [即：要求先证，要证先作。] 具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线，构作含异面直线所成(或其补角)的角的三角形，再求之。 空间中的角 第四页，共十五页，2022年，8月28日 B 例1：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角。 如图，连B1D1与A1C1 交于O1， O1 M 由余弦定理得 ?A1C1与BD1所成的角为 取BB1的中点M，连O1M，则O1M??D1B， 于是?A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角），连A1M，在?A1O1M中 （2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。 D B 1 A 1 D 1 C 1 A C 解法一（平移法）： 第五页，共十五页，2022年，8月28日 在?A1C1E中， 由余弦定理得 ?A1C1与BD1所成的角为 说明：异面直线所成角的范围是（0o，90o]，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不符合两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。 另外，当异面直线垂直时，应用线面垂直的定义或三垂线定理（或逆定理）判定所成的角为90o，也是不可忽视的办法。 如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面 BC1的方体B1F， 连结A1E，C1E，则?A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)， F1 E F E1 B D B 1 A 1 D 1 C 1 A C 解法二（补形法）： 第六页，共十五页，2022年，8月28日 2、直线和平面所成的角 直线与平面平行或在平面内，直线和平面所成的角的是0o； 斜线和平面所成的角是：斜线及斜线在平面上的射影所成的角。 例2：如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’的底面为一等腰直角三角形，直角边AB=AC=2cm，侧棱与底面成60o角，BC’?AC，BC’=2?6cm,求BC’与底面所成的角。 A’ B’ C’ B A C O 分析：欲求BC’与底面ABC所成的角，关键在于准确地找到BC’在底面上的射影。注意到AC?AB和AC?BC’，即AC?平面ABC’，所以，平面ABC’?平面ABC，故点C’在底面上的射影O在平面ABC’和平面ABC的交线BA上， ?C’BO为所求的角。 直线与平面垂直，直线和平面所成的角是90o； 通常是从斜线上找特殊点，作平面的垂线段，构作含所求线面角的三角形求之。 求斜线与平面所成的角，关键是找准斜线段在平面内的射影； x 第七页，共十五页，2022年，8月28日 O B’ A’ C’ B A C BC’与底面所成的角是 例2：如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’的底面为一等腰直角三角形，直角边AB=AC=2cm，侧棱与底面成60o角，BC’?AC，BC’=2?6cm,求BC’与底面所成的角。 分析：欲求BC’与底面ABC所成的角，关键在于准确地找到BC’在底面上的射影。注意到AC?AB和AC?BC’，即AC?平面ABC’，所以，平面ABC’?平面ABC，故点C’在底面上的射影O在平面ABC’和平面ABC的交线BA上， ?C’BO为所求的角。 解： ?AC?AB，AC?BC’， ?AC?平面ABC’，于是平面ABC’?平面ABC，作C’O?平 面ABC，则点O 令C’O=x，则 在BA延长线上,?C’BO就是BC’ 与底面所成的角，连 OC， 是侧棱与底面所成的角为60o， ?C’CO 在? OBC’中 BC’=2? 6(已知） 解得， 舍去) 在Rt?BOC中， 为什么？ x 第八页，共十五页，2022年，8月28日 D 从一条直线出发的两个半平