两角和与差的正弦、余弦和正切公式.docx

PAGE PAGE 1 / 9 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【最新考纲】 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2. 会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能利用两角和(差)、二倍角公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)． 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β?sin_αsin_β； tan α±tan β β(3)tan(α±β)＝1?tan αtan ． β 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 2tan α αtan 2α＝ ．1－tan2 α 有关公式的变形和逆用 公式 T(α＋β)的变形： ①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． 公式 C2 的变形： α 1 ①sin2α＝2(1－cos_2α)； 1 ②cos2α＝2(1＋cos_2α)． 公式的逆用 ①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2； ②sin α±cos α＝ 2sin? π?. ?α± ? 4? ? 4 辅助角公式 b ɑsin α＋bcos α＝ ɑ2＋b2sin(α＋φ)(其中 tan φ＝a)． 1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的 打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)在锐角△ABC 中，sin Asin B 和cos Acos B 大小不确定．( ) (α β)tan α＋tan (α β) (3)公式 tan ＋ ＝ 可以变形为 tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角 α，β都成立．( ) (4)公式 ɑsin x＋bcos x＝ ɑ2＋b2sin(x＋φ)中 φ 的取值与 a，b 的 值无关．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× 2．(2015·课标全国Ⅰ卷)sin 20 °cos 10 °－cos 160 °sin 10 °＝ ( ) 3A．－ 3  B. C．－1 1 2 2 D.2 32解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10 3 2 cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30 1 °＝2. 答案：D 2 π 3．(经典再现)已知 sin 2α＝3，则 cos2(α＋ 4 )＝( ) 1 1 1 2 A.6 B.3 C.2 D.3 2 ? π? 解析：∵sin 2α＝3，∴cos2?α＋ 4 ?＝ 1＋ α＋? 1＋ α＋ cos 2 ? ? 1－2 ? 2 ? 1－sin 2α 3 1 ? 2 答案：A ?＝ 2 ＝ 2 ＝6. 4．(2015·重庆卷)若 tan 1 tan(α＋β) 1 tan β＝( ) α＝3， 1 1 5 ＝2，则 5 A.7 B.6 C.7 D.6 tan（α＋β）－tan α 解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝ 1＋tan（α＋β）·tan α 1 1 2－3 1 ＝ 1 1＝7. 1＋2×3 答案：A 若锐角 α、β 满足(1＋ 3tan α)(1＋ 3tan β)＝4，则 α＋β ＝ ． 解析：由(1＋ 3tan α)(1＋ 3tan β)＝4， βtan α＋tan β β 可得1－tan αtan ＝ 3， 即 tan(α＋β)＝ 3. π 又 α＋β∈(0，π)，所以 α＋β＝ 3 . π 答案： 3 一点注意 三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增解的有效措施． 两个技巧 拆角、拼角技巧： 2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β α＋β α－β α－β ? β? ?α ? 2＝ 2 － 2 2 ， 2 ＝?α＋ ?－? 2? ? ? 2 ＋β?. ? 化简技巧：切化弦，“1”的代换等． 三种变化 变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系． 变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”、“升幂与降幂”等． 变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等． 一、选择题 α 1．若 sin ＝  3 ，则 cos α＝( ) 2 3 A．－2 B 1 1