第05讲 拋物线的性质及其应用（解析几何）（解析版）.docx

第05讲 拋物线的性质及其应用 知识与方法 1.拋物线焦点弦的常用性质 已知直线 l 过抛物线 C:y2=2px(p0) 的焦点 F, 交抛物线 C 于 A,B （点 A 在 x (1) x (2) | (3) |AB (4) 从点 A、B 分别作准线的垂线, 垂足分别为 M,N, 从弦 AB 的中点 (i) ∠MFN (ii) ∠ADB= (iii)以 AF （或 BF ）为直径的圆与 y 轴相切; (5) 准线与 x 轴的交点为 P, 则 kPA+k (6) BN⊥l 于点 N,AM⊥l 于点 2. 拋物线的平均性质 如右上图所示, 设 A,B 为抛物线 y2=2px(p0) 上的任意两点, 若直线 【证明】设直线 AB 的方程为 x=ty+m, 联立 y2=2pxx= 所以 xA 典型例题 【例1】 已知抛物线 y2=2px(p ?甲:? ?以上是 “直线? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B ?【解析】必要性: 设过抛物线? ?代入拋物线方程得:? ?由直线上两点? x OA ?由? = 故：甲、乙、丙、丁都是必要条件 ?充分性: 设过拋物线? ?代入抛物线方程得:? 由直线上两点 Ax ?对于甲：若? ? ?对于乙: 若? ?对于丙:? ?对于丁? ? 故选 B. 【例2】 已知拋物线 C:y2=4x 的焦点为 F 和准线为 l, 过点 F 的直线交 l 于点 A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】解法 1: 几何法 ?抛物线? 设准线 l 与 x 轴的交点为 D, 则 D(?1,0),|DF|=2, 过点 B 作 因为 FA=?2FB, 可得 |FA|:| 根据拋物线的定义可得 |BF|=|BE 解法 2: 抛物线 C:y2=4x ?根据对称性, 不妨设? ?又? ?又由? 所以 |AB 【例3】 已知拋物线 y2=16x 的焦点为 F, 过点 F 作直线 l 交拋物线于 M、N 两点, 则 |NF|9?4|MF| 的最小值为 ( ) 【答案】D 【解析】由拋物线的方程 y2=16x, 可知焦点 联立方程 x=my+4y2=16 则 y ?又? ?所以? = ?所以? 【注】上述解法用到了焦半径性质: 1| 【例4】 已知抛物线 C:x2=8y, 过点 P(1,?2) 作该抛物线的两条切线, 切点分别为 A,B, 则直线 AB 的方程为（ ） A. x 【答案】 A 【解析】设切点为 Ax1, 则切线 PA 的方程为: y?y 切线 PB 的方程为: y?y 由 P(1,?2) 是 PA、PB 所以过 A、B 的直线方程为: x?4 【例5】已知 F 为抛物线 y2=2x 的焦点, A,B,C 均为抛物线上的点, 直线 AB 经过焦点 F 且直线 AB 的倾斜角与直线 AC 【答案】 3 【解析】解法 1: 设 Ax1 同理 k 因为直线 AB 的倾斜角与直线 AC 的倾斜角互补, 所以 kAB 所以 kBC=2 所以 ?1 即 y 解法 2: k k 解法 3: 设 A2 ?则? ?所以? 解法 4: 设 Ax1 ?则? 可以证明 BM// ?记? ?所以? ?又因为直线? ∠ ?所以? 于是, 直线 AB 的倾斜角为 60° ?由? 【例6】如图, 已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F. 过点 P(2,0) 的直线交拋物线于 Ax (1) 求 y1 (2) 记直线 MN 的斜率为 k1, 直线 AB 的斜率为 k2, 证明: 【答案】（1） y1 【解析】（1）根据条件, 设直线 AB 的方程为 x= 将其代入 y2=4x, 消去 x, 整理得 y (2) 设 Mx3,y3 方程为 x=ny+1, 将其代入 y2=4x, 消去 x, 整理得 k1k2 强化训练 设拋物线的顶点为坐标原点, 焦点 F 的坐标为 (1,0). 若该抛物线上两点 A,B 的横坐标之和是 5 ,则弦 A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】依题意可得抛物线的方程为 y2=4x 结合图形可知 |AF|+|BF 又 |AF|+|BF|=x1+ 2. 过拋物线 y2=4x 的焦点 F 作一条倾斜角为 π6 A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】方法 1 : 依题意可知直线 AB: 联立方程 y2=4 则 Δ=142?40, 设 A 根据抛物线的定义可得 |AB|=|AF 方法 2: 利用过拋物线