第02讲 顶角最大问题与渐近线性质（解析几何）（原卷版）.docx

第02讲 顶角最大问题与渐近线性质 一、顶角最大问题 知识与方法 在椭圆中有两个比较特殊的角,一个是短轴上的一个顶点到两焦点的张角,另一个是短轴上的一个顶点到长轴上两个顶点的张角,它们都是椭圆上任意一点到这两对点的所有张角中最大的角,这两个最大张角有重要的应用,相关结论及证明如下: 结论1:已知,为椭圆的两个焦点,为椭圆上任意一点,则当点为椭圆短轴的端点时,最大. 【证明】如图所示,设,,则:,, 所以.(当时取等号) 由余弦定理得： . 当即时取等号,所以当时,的值最小, 又因为,所以此时最大.即点为椭圆短轴的端点时最大 结论2:已知,为椭圆长轴上的两个顶点,为椭圆上任意一点,则当点为椭圆短轴的端点时,最大. 【证明】如图,设,过点作,垂足为,则,,,所以,,则 因为，所以 又因为， 所以当时，取得最大值，此时最大. 即当点为椭圆短轴的端点时，最大. 典型例题 【例1】 若 P 是椭圆 x24+y23=1 【例2】 已知椭圆，是它的两个焦点，点为其上的动点，当为钝角时，求点横坐标的取值范围. 【例3】已知椭圆 x2a2+y2b 【例4】设 A,B 是椭圆 C:x23+y2m A. (0,1]∪[9,+∞) B. C. (0,1]?[4,+∞) D. 强化训练 1. 已知为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围是 . 2.已知 P 为椭圆 x2a2+y2b 3.焦点在 x 轴上的椭圆方程为 x2a2+y2=1(a0), 4.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点, 满足 MF1? A.(0,1) B.(0,12) C.(0,22) D.( 5.设 F1,F2 是椭圆 C:x23+ A. (0,1]∪[12,+∞) B. C. 0,34∪[2 6.已知椭圆 C 的方程为 x24+y2b2(0b2) 二、渐近线性质 知识与方法 有关双曲线的一些结论: 结论 1: 双曲线的焦点到渐近线的距离为 b. 【证明】如左下图所示, 作 F2H⊥l1 于 H d 【说明】如左下图, 在 Rt△OHF2 中, 记 l1 的倾斜角为 θ, 显然有：渐近线 l1 的斜率 k=tan? 我们称 Rt△ 结论 2: 以线段 F1F2 为直径的圆与双曲线相交, 设第一象限的交点为 P 【证明】 tan?θ=ba?cos? yP=| 结论 3: 过双曲线 x2a2?y 渐近线围成的平行四边形的面积为定值 ab2 【证明】我们先证明一个引理：若 OA=x1 证明: S = 下面结合引理来证明结论 3 . 依题意可设 Ex1, 即 Px1+x2 则 S△EOF= 结论 4: 过双曲线 x2a2?y Bx2, (1) 点 P 是线段 AB 的中点, 即 |PA (2) 渐近三角形的面积为定值, 即 S△ 证明留给读者. 典型例题 【例1】已知双曲线 C:x2a2?y2b2=1(a0, 【例2】(多选）过双曲线 C:x2a2?y2b2=1(a A. 62 B. 3 C. 362 【例3】已知双曲线 x2a2?y2b2=1(a0,b0) 的左右焦点分别为 F1,F2, 右顶点为 A A. 3 B. 2 C. 2 D. 5 强化训练 1. 已知双曲线 C:x23?y2=1,O 为坐标原点, F 为 C 的右焦点, 过点 A. 32 B. 3 C. 23 2.设 F1,F2 是双曲线 x2a2?y2b2=1( A. 5 B. 2 C. 3 D. 2 3.已知坐标平面 xOy 中, 点 F1,F2 分别为双曲线 C:x2a2?y2=1(a0) 的左、右焦点, 点 M 在双曲线 C 的左支上， MF2 与双曲线 A. 2 B. 3 C. 5 D. 5 4.已知双曲线 x2a2?y2b 的右支有两个交点, 则此双曲线离心率的取值范围是 A. (1,2) B. (1,2] C. [2,+∞) D. (2,+∞) 5.已知 F 是双曲线 C:x2a2?y2b2=1(a0,b0) 的右焦点, O A. 324 B. 334 C. 6.双曲线 E:x2a2?y2b2=1(a0,b0) 的左焦点为 F, 过 F 作 x 轴垂线交 E 于点 A, 过 F 作与 E 7.过双曲线 C:x2a2?y2b2=1(a0, A.y=±12x B. y=±x 8.已知双曲线 C:x2a2?y2b2=1(a0,b0) 右支上一点 P, 经过点 P 的直线与双曲线 C A. 329 B. 169 C. 89 9.双曲线 C:x2a2?y2b2=1(ab0) 的左、右焦点分别为 F1,F2 A. x2?y C. x2?y2 10.已知 F1,F2 是双曲线 C:x2a2?y2b2=1(a0,b0) 的左右两个