第01讲 曲线与方程（解析几何）（解析版）.docx

第01讲 曲线与方程 知识与方法 解析几何主要研究两方面的内容:一是根据条件求曲线的方程(即轨迹方程)，二是根据曲线方程,研究曲线的性质. 1.求轨迹方程 求曲线的轨迹方程是高考命题的热点,其一般步骤为:建(坐标系)、设(动点坐标)、限(限制条件,点满足的条件)、代(坐标代入)、化(化简整理),最后检验轨迹的纯粹性与完备性. 即: = 1 \* GB3 ①建系;②设点;③列式;④化简;⑤检验. 求轨迹方程的常用方法: 已知曲线类型——待定系数法 未知曲线类型——①定义法:②直接法:③代入法;④交轨法;⑤参数法. 2.研究曲线的性质 主要是图形形状、对称性、范围、最值等. 典型例题 【例1】已知点集，则平面直角坐标系中区域的面积是（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，当时，只需满足，； 当时，对不等式两侧平方，整理得， 综上可得集合对应的图象，如图所示， 所以其面积为． 【例2】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:就是其中之一(如图).给出下列三个结论: = 1 \* GB3 ①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； = 2 \* GB3 ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过; = 3 \* GB3 ③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中,所有正确结论的序号是( ) A.① B.② C.①② D.①②③ 【答案】C 【解析】由得，，，，，所以可为的整数有0，，1，从而曲线C：恰好经过，，，，，六个整点，结论①正确. 由得，，解得，所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过.结论②正确. 如图所示，易知，，，， 四边形ABCD的面积，很明显“心形”区域的面积大于，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误. 【例3】在数学中有这样形状的曲线:.关于这种曲线，有以下结论： = 1 \* GB3 ①曲线恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）; ②曲线上任意两点之间的距离都不超过2; ③曲线所围成的“花瓣”形状区域的面积大于5. 其中正确的结论有（ ） A.①③ B.②③ C.①② D.①②③ 【答案】A 【解析】 如图，图象由四个圆的部分图像和原点组成，且四个圆都可过原点， ①曲线中，，, 经过的整点有:,,,,,,,,共9个，命题①正确; ②如图，曲线上任意两点距离范围为，即两点距离范围为，命题②错误; ③曲线所围成的“花瓣”形状区域可看成四个半圆和一个正方形组成，设它的面积为， ，命题(3)正确. 故选：A. 【例4】（多选题）双扭线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系中，把到定点,距离之积等于的点的轨迹称为双扭线. 已知点是双扭线上一点，下列说法中正确的有（ ） A.双扭线关于原点中心对称; B.; C.双扭线上满足的点有两个; D.的最大值为. 【答案】ABD 【解析】对，设动点，由题意可得的轨迹方程为. 把关于原点对称的点代入轨迹方程，显然成立； 对，因为，故.又，所以，即，故.故正确； 对，若，则在的中垂线即轴上．故此时，代入 ，可得，即，仅有一个，故错误； 对，因为，故， 因为，，故. 即，所以. 又，当且仅当，，共线时取等号． 故，即，解得，故正确.故选：. 【例5】（多选题）在平面直角坐标系中，为曲线上一点，则（ ） A．曲线关于原点对称 B． C．曲线围成的区域面积小于18 D．到点的最近距离为 【答案】ACD 【解析】当，时，曲线即，将中心平移到位于第一象限的部分；因为点，，都在曲线上，所以曲线图象关于轴，轴和原点对称，作出图象如图所示: 对于选项：由图知曲线关于原点对称，故选择项正确； 对于选项：令中令得，向右平移一个单位可得横坐标为3，根据对称性可知，故选项不正确； 对于选项：令中可得，向上平移个单位可得纵坐标最大值为，曲线第一象限的部分被包围在矩形内，矩形面积为，所以曲线围成的区域面积小于，故选项正确； 对于选项：令中，可得，所以到点的最近距离为，故选项正确； 综上所述，选. 【例6】（多选题）数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美，对称美，和谐美的结合产物，曲线：恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论正确的是（ ） .曲线经过5个整点（即横，纵坐标均为整数的点） .曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2 .曲线围成区域的面积大于 .方程表示的曲线在第一象限和第三象限 【答案】 【解析】把，代入曲线，可知等号两边成立， 所以曲线在第一象限过点，由曲线的对称性可知，该