第03讲 共焦点问题（解析几何）（解析版）.docx

第03讲 共焦点问题 知识与方法 椭圆与双曲线共焦点求解模型: 结论 1: 已知 F1,F2 为椭圆和双曲线的公共焦点, P 为它们的一个公共点, 且 ∠F 【证明】设椭圆方程为 x2a12+y2b12=1, 双曲线方程为 x2a ∴4c 2 即 sin 结论 2: 已知椭圆 C1:x2a12 的焦点重合, e1,e2 【证明】 1e 典型例题 类型 1：已知顶角的共焦点问题 【例1】已知 F1,F2 为椭圆和双曲线的公共焦点, 33 B. 32 C. 1 【答案】B 【解析】由上述结论可知 1e12+3e2 【例2】已知 e1,e2 分别是具有公共焦点 F1,F2 的椭圆和双曲线的离心率, P 【答案】 2 【解析】 |PO|=F 【例3】已知 F1,F2 为椭圆和双曲线的公共焦点, P 为它们的一个公共点, 且 【答案】 e 【解析】 1e 由 t=1 所以 f(t) 在 1,43 【例4】已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是它们的一个公共点, 且 A. 433 B. 233 【答案】 A 【解析】由上述结论可得 1e 解法 1: 利用柯西不等式 由柯西不等式得 1e 当且仅当 1e1= 即 1e1+1e 解法 2: 利用三角换元 由 1e12 则 1 类型 2: 与面积有关的共焦点问题 下面几例角度不够不明显，需要用到椭圆与双曲线焦点三角形面积公式求解顶角的正、余弦值. 【例5】已知椭圆 C1:x2m2+y2=1( A. mn B. mn C. mn D. mn 【答案】A 【解析】设 P 为椭圆与双曲线在第一象限内的公共点, F1 则 PF 由椭圆和双曲线焦点三角形面积公式, 可得 SΔ=b 所以 tan?θ2 所以 1e ∵ 【例6】记共焦点的椭圆和双曲线的离心率分别为 e1, 【答案】 5 【解析】易知 1e 解法 1: 利用柯西不等式 ?由柯西不等式得? 1 ?当且仅当? ?解法 2: 利用三角换元? ?由? ?则? 【例7】已知 F1,F2 是双曲线 C1:x2a2?y2 A. 2105 B. 103 C. 3 【答案】A 【解析】由题意, a2+b2=25?9=16 ?则? ?并将? ?又? 故选: A. 【例8】若椭圆 x2t+10+y2t?15=1(t15) 与双曲线 【答案】125 【解析】依题意有 F1F2 由余弦定理得 (8+m)2 故对与椭圆来说 AF1+AF2=20=2 类型 3：与焦半径有关的共焦点问题 【例9】椭圆 C1 与双曲线 C2 有相同的左右焦点分别为 F1,F2, 敉圆 C1 的离心率为 e1, 双曲线 C2 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】因为 F1,F2 为椭圆 C1 P 所以椭圆 C1 的离心率为 e 双曲线 C2 的离心率为 e 因此, e 故选 A. 【例10】 双曲线 x2a22?y2b22=1 【答案】 1+ 【解析】设椭圆的离心率为 e1, 双曲线的离心率为 e P ∵sin?∠ ∵ 又 ∵ 两边除以 a22 并化简得 故答案为: 1+ 【例11】 已知椭圆 C1:x2a2+y2b2=1(ab0) 与双曲线 C2 A. 64 B. 33 C. 22 【答案】D 【解析】如图, 作 PM⊥F1 根据椭圆与双曲线的定义可得 PF1+ 由 2OF2?OP 即 F1 由勾股定理可得 (a 整理得 c2=2am ∴3 ∴e 故选：D. 【例12】设椭圆 x2m2+y 且 TF14, 若椭圆和双曲线的离心率分别为 A. 2,269 B. 7,529 C. 【答案】D 【解析】解法 1: 依题意有 m2?4=a ∴ T ?解得? ∴ 故选 D. 解法 2: 因为 0a1, 所以双曲线的离心率 e 1 所以 e 设 t=2e22?1( 所以 ?(t) 在 (9,+∞) 因此 e12 强化训练 1.已知椭圆 C1:x2m2+y24b2=1 A. mn 且 e1e2≥ C. mn 且 e1e2 【答案】 A 【解析】可得 mn, 由椭圆和双曲线焦点三角形面积公式得 4tan?θ 所以 1e12 等号成立, 所以 e1e2 2.已知椭圆 C1:x2m2+y2b2=1( 其中 A. mn 且 e1e2≥45 B. D. mn 【答案】B 【解析】由上述解法易知 m 由椭圆和双曲线焦点三角形面积公式得 tan?θ2=4tan?θ2 由 0e11, 令 t= 则 1 所以 f(t) 在 1, 故 01e12 3.已知 F1、F2 是双曲线C1:x2a2?y2b2=1（a0,b A. 210+45 B. 210+35 【答案】A 【解析】由于 F1、F2 是双曲线 故 a2