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第14讲 非对称韦达定理
知识与方法
在解决直线与圆锥曲线的位置关系的问题中,我们通常要联立直线与圆锥曲线的方程,消去或,得到一个一元二次方程,例如消去,得到一个两根为的一元二次方程,则有根与系数的关系:,此即为韦达定理.对于诸如,之类的目标,它们的结构特点是:将与互换之后结果不变,即具有“对称性”,此类问题称之为“对称型韦达”问题,稍作变形,就可以直接利用韦达定理的结果整体代入,快速求解.
但在某些问题中,我们会遇到两根不对称的结构,比如
,,之类的问题,就相对较难地直接应用韦达定理来处理了,我们把这类问题称为“非对称韦达问题”,本讲介绍一些常见的处理手法.
典型例题
类型两根之比型(如等
【例1】设椭圆的左焦点为,过点的直线与椭圆相交于两点,直线的倾斜角为,求椭圆的离心率.
【答案】.
【解析】设,由题意知,
直线的方程为,其中.
联立,得,
解得
因为,所以,必,得离心率.
以上是标准答案,求根过程令人望而却步,可以作如下优化:
非对称处理手法1:
由韦达定理得,
由,得,即,所以,
即,即,,
整理得,即,所以.
整理得.
【注】将取倒数相加,得到,这样处理将不对称式转化为对称式,就可以将韦达定理结果整体代入了.
非对称处理手法2:
由得,得,
将,代入上式得,整理得.
【注】手法2是利用条件得到与的关系:,就可以用韦达定理处理了.
非对称处理手法3:
将代入,得,
消去得,整理得.
【注】手法3逐个消掉,其实是代入消元法.
类型2:系数不等型(如)
【例2】已知抛物线与定点,直线与抛物线交于两点,且有,求直线的斜率.
【答案】或-1
【解析】设,由条件可得与的系数不对等,怎么凑出韦达式呢?
解法1:
即,待定系数,使得,易得,即,
因为,所以,取倒数相加,便得,
所以,
设直线,与抛物线联立可得,
则,代入前面的式子中可得,
解得或,所以直线斜率为或.
解法2:
设,设直线,
与抛物线联立可得,则,
由条件可得:,
代入上面两式,得:,所以
所以
解得或,所以直线斜率为或.
类型3:分式上下不对称型(如等)
【例3】设为椭圆的右焦点,过点的直线与椭圆交于两点.
(1)若点为椭圆的上顶点,求直线的方程;
(2)设直线的斜率分别为,求证:为定值.
【答案】(1);(2)
【答案】(1);(2)
【解析】(1)方程为,即联立
或,所以,而,故直线的方程为;
(2)设,,,
联立,则.
由韦达定理可得:,(*)
求解目标为:,,的系数出现了不对称,可有如下处理手法:
非对称处理手法1:(转化为)
由(*)两式相除,可得:,所以
所以.
【注】,中,把转化为.
非对称处理手法2:,保留
.
【注】,保留一个,分子分母统一保留,故在分母配.
非对称处理手法3:,保留
.
【注】,保留一个,分子分母统一保留,故在分子配.
非对称处理手法4:(暴力求根)
由求根公式得:,不妨设,,则
.
【注】首先结合韦达定理处理掉,然后暴力求根代入,,将分子分母都用含的式子表示,逐步消元得到结果.
【例4】已知、分别为椭圆的左、右顶点,为的上顶点,,为直线上的动点,与的另一交点为,与的另一交点为.
(1)求的方程;
(2)证明:直线过定点.
【答案】(1);(2)直线过定点.
【解析】(1)(过程略
(2)解法1:设,,.
由,,三点共线,得;由,,三点共线,,两式相除得:.
当直线的斜率不为,设直线的方程为,
联立,消去得:,
由韦达定理得:,,
两式相除,可得,于是
所以,解得,直线方程为,过定点.
当直线的斜率为时,则其方程为,显然过点.
综上所述:直线过定点.
解法2:利用椭圆第三定义
设,,,则,,所以,即.
又,所以.
当直线的斜率不为时,设的方程为,
联立方程组,消去得,则,
而,,
,由已知得,即,解得.
直线的方程为,直线过定点.
当直线的斜率为时,则其方程为,显然过点.综上所述:直线过定点.
【注】此法利用椭圆第三定义进行转化:,联立直线与椭圆方程后,便是常规的韦达定理了.这个转化值得回味,基于一个重要模型:斜率之积为定值,第三边过定点.
一般地:为圆锥曲线上一定点,、为圆锥曲线上的两个动点,若(为常数且),则直线过定点.(证明略)
解法3:平方法
由,,三点共线,得;由,,三点共线,,
两式相除得:,所以, ①
由点,在椭圆上,得:,.
对①式两边平方,得,即,
也即,整理得,
当直线的斜率存在时,设直线的方程为,联立,消去得
,韦达定理得:,.
于是,化简得,即,
解得或.
当,直线的方程为,过定点;
当时,直线的方程为,过定点,不合题意,舍去.
当直线的斜率不存在时,有,,结合,可解得,此时直线的方程为,直线过点.
综上,直线恒过定点.
【注】该法将不对称式两边平方,将不对称式转化为对称式:,接下来应
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