第14讲 非对称韦达定理（解析几何）（解析版）.docx

第14讲 非对称韦达定理 知识与方法 在解决直线与圆锥曲线的位置关系的问题中,我们通常要联立直线与圆锥曲线的方程,消去或,得到一个一元二次方程,例如消去,得到一个两根为的一元二次方程,则有根与系数的关系:,此即为韦达定理.对于诸如,之类的目标,它们的结构特点是：将与互换之后结果不变,即具有“对称性”,此类问题称之为“对称型韦达”问题，稍作变形,就可以直接利用韦达定理的结果整体代入，快速求解. 但在某些问题中,我们会遇到两根不对称的结构,比如 ,,之类的问题，就相对较难地直接应用韦达定理来处理了，我们把这类问题称为“非对称韦达问题”,本讲介绍一些常见的处理手法. 典型例题 类型两根之比型（如等 【例1】设椭圆的左焦点为,过点的直线与椭圆相交于两点,直线的倾斜角为,求椭圆的离心率. 【答案】. 【解析】设,由题意知, 直线的方程为,其中. 联立,得, 解得 因为,所以,必,得离心率. 以上是标准答案,求根过程令人望而却步,可以作如下优化: 非对称处理手法1: 由韦达定理得, 由,得,即,所以, 即,即,, 整理得,即,所以. 整理得. 【注】将取倒数相加,得到,这样处理将不对称式转化为对称式,就可以将韦达定理结果整体代入了. 非对称处理手法2: 由得,得, 将,代入上式得,整理得. 【注】手法2是利用条件得到与的关系:,就可以用韦达定理处理了. 非对称处理手法3: 将代入,得, 消去得,整理得. 【注】手法3逐个消掉,其实是代入消元法. 类型2:系数不等型（如） 【例2】已知抛物线与定点,直线与抛物线交于两点,且有,求直线的斜率. 【答案】或-1 【解析】设,由条件可得与的系数不对等,怎么凑出韦达式呢? 解法1: 即,待定系数,使得,易得,即, 因为,所以,取倒数相加,便得, 所以, 设直线,与抛物线联立可得, 则,代入前面的式子中可得, 解得或,所以直线斜率为或. 解法2: 设,设直线, 与抛物线联立可得,则, 由条件可得:, 代入上面两式,得:,所以 所以 解得或,所以直线斜率为或. 类型3:分式上下不对称型（如等) 【例3】设为椭圆的右焦点,过点的直线与椭圆交于两点. (1)若点为椭圆的上顶点,求直线的方程; （2）设直线的斜率分别为,求证：为定值. 【答案】(1)；(2) 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)方程为，即联立 或，所以，而，故直线的方程为； (2)设，，， 联立，则. 由韦达定理可得：，（*） 求解目标为：，，的系数出现了不对称，可有如下处理手法： 非对称处理手法1：（转化为） 由（*）两式相除，可得：，所以 所以. 【注】，中，把转化为. 非对称处理手法2：，保留 . 【注】，保留一个，分子分母统一保留，故在分母配. 非对称处理手法3：，保留 . 【注】，保留一个，分子分母统一保留，故在分子配. 非对称处理手法4：（暴力求根） 由求根公式得：，不妨设，，则 . 【注】首先结合韦达定理处理掉，然后暴力求根代入，，将分子分母都用含的式子表示，逐步消元得到结果. 【例4】已知、分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，，为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为. (1)求的方程； (2)证明：直线过定点. 【答案】(1)；(2)直线过定点. 【解析】（1）（过程略 (2)解法1：设，，. 由，，三点共线，得；由，，三点共线，，两式相除得：. 当直线的斜率不为，设直线的方程为， 联立，消去得：， 由韦达定理得：，， 两式相除，可得，于是 所以，解得，直线方程为，过定点. 当直线的斜率为时，则其方程为，显然过点. 综上所述：直线过定点. 解法2：利用椭圆第三定义 设，，，则，，所以，即. 又，所以. 当直线的斜率不为时，设的方程为， 联立方程组，消去得，则， 而，， ，由已知得，即，解得. 直线的方程为，直线过定点. 当直线的斜率为时，则其方程为，显然过点.综上所述：直线过定点. 【注】此法利用椭圆第三定义进行转化：，联立直线与椭圆方程后，便是常规的韦达定理了.这个转化值得回味，基于一个重要模型：斜率之积为定值，第三边过定点. 一般地：为圆锥曲线上一定点，、为圆锥曲线上的两个动点，若（为常数且），则直线过定点.（证明略) 解法3：平方法 由，，三点共线，得；由，，三点共线，， 两式相除得：，所以， ① 由点，在椭圆上，得：，. 对①式两边平方，得，即， 也即，整理得， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，消去得 ，韦达定理得：，. 于是，化简得，即， 解得或. 当，直线的方程为，过定点； 当时，直线的方程为，过定点，不合题意，舍去. 当直线的斜率不存在时，有，，结合，可解得，此时直线的方程为，直线过点. 综上，直线恒过定点. 【注】该法将不对称式两边平方，将不对称式转化为对称式：，接下来应