第02讲 顶角最大问题与渐近线性质（解析几何）（解析版）.docx

第02讲 顶角最大问题与渐近线性质 一、顶角最大问题 知识与方法 在椭圆中有两个比较特殊的角,一个是短轴上的一个顶点到两焦点的张角,另一个是短轴上的一个顶点到长轴上两个顶点的张角,它们都是椭圆上任意一点到这两对点的所有张角中最大的角,这两个最大张角有重要的应用,相关结论及证明如下: 结论1:已知,为椭圆的两个焦点,为椭圆上任意一点,则当点为椭圆短轴的端点时,最大. 【证明】如图所示,设,,则:,, 所以.(当时取等号) 由余弦定理得： . 当即时取等号,所以当时,的值最小, 又因为,所以此时最大.即点为椭圆短轴的端点时最大 结论2:已知,为椭圆长轴上的两个顶点,为椭圆上任意一点,则当点为椭圆短轴的端点时,最大. 【证明】如图,设,过点作,垂足为,则,,,所以,,则 因为，所以 又因为， 所以当时，取得最大值，此时最大. 即当点为椭圆短轴的端点时，最大. 典型例题 【例1】若 P 是椭圆 x24+y23=1 【答案】 π 【解析】根据椭圆的方程可知: x24+y23=1, 所以 a=2,b=3 故答案为: π3 【例2】 已知椭圆，是它的两个焦点，点为其上的动点，当为钝角时，求点横坐标的取值范围. 【答案】 【解析】由结论1知，当点越接近短轴的端点时，越大，所以只要求为直角时点横坐标的值，因为，所以当为直角时，点在圆上，解方程组: x29+y24=1x2+y2=1 得: x=±3 【例3】已知椭圆 x2a2+y2b 【答案 】 【解析】由结论 2 可知: 当点 P0 为椭圆短轴的端点时, ∠AP0B 最大，因此只要 ∠AP0B?120 故椭圆的离心率的取值范围是 e∈ 【例4】设 A,B 是椭圆 C:x23+y2m A. (0,1]∪[9,+∞) B. C. (0,1]?[4,+∞) D. 【答案】A 【解析】当0m3时，椭圆C焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB=120°, 则ab≥tan60°=3,即3m≥3 当m3时，椭圆C焦点在y轴上，要使C上存在点M满，故m足∠AMB=120°,则ab≥tan60°= m3≥3,得m≥9，故m的取值范围为( 强化训练 1. 已知为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】 【解析】由结论1可知：当点为椭圆短轴的端点时，最大， 因此只需最大角，即，即， 也即， 解得 故椭圆离心率的取值范围是 2.已知 P 为椭圆 x2a2+y2b 则椭圆的离心率为_________. 【答案】 3 【解析】当 P 是椭圆短轴的顶点吋, ∠F1PF2 取最大值, P 为椭圆上任意一点, 当 ∠F1PF2 取最大值时的余弦值为 故答案为: 33 3.焦点在 x 轴上的椭圆方程为 x2a2+y2=1(a0), 【答案】［2,+∞ 【解析】因为焦点在 x 轴上的椭圆方程为 x2a2?y2=1(a0), 所以 b=1,c2=a2?1, 若椭圆上存在点B,使得∠F 4.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点, 满足 MF1? A.(0,1) B.(0,12) C.(0,22) D.( 【答案】C 【解析】 设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为 a, ∵MF1?MF 又 M 点总在椭圆内部, ∴ 该圆内含于椭圆, 即 c ∴ 故选 C. 5.设 F1,F2 是椭圆 C:x23+ 是（ ） A. (0,1]∪[12,+∞) B. C. 0,34∪[2 【答案】D 【解析】当 0m3 时, 椭圆 C:x23+y2m=1 的焦点在 x 轴上，当 M 位于短轴的端点时， ∠F 当 m3 时, 椭圆的焦点在 y 轴上，当 M 位于短轴的端点时, ∠F1MF2 取最大值, 要使椭圆 C 上存在点 M 满足 6.已知椭圆 C 的方程为 x24+y2b2(0b2) 【答案】 (?2,2) 【解析】由题意得a=2,e=12,所以c=1,则b 点 P(m,n) 在椭圆上, 设 m=2cos?αn=3sin?α, 则 PF1=(?1?2cos?α,?3sin?α), PA2=(2?2cos?α,?3sin? 故答案为: (?2,2). 二、渐近线性质 知识与方法 有关双曲线的一些结论: 结论 1: 双曲线的焦点到渐近线的距离为 b. 【证明】如左下图所示, 作 F2H⊥l1 于 H d 【说明】如左下图, 在 Rt△OHF2 中, 记 l1 的倾斜角为 θ, 显然有：渐近线 l1 的斜率 k=tan? 我们称 Rt△ 结论 2: 以线段 F1F2 为直径的圆与双曲线相交, 设第一象限的交点为 P 【证明】 tan?θ=ba?cos? yP=| 结论 3: 过双曲线 x2a2?y 渐近线围成的平行四边形的面积为定值 ab2 【证明】我