2.6垂直平分线模型.pdf

垂直平分线模型 因垂直平分线包含了垂直与平分两个内容，于是既会产生边动 （中点和等腰三角形），又会产生角动， 其原理就是对称。垂直平分线的性质实质上就是等腰三角形的判定；同时，等腰三角形的三线合一性质中 的已知等腰+顶角平分线得到垂直平分，实质上就是线段垂直平分线的判定。 一．六种不同的类型： 1．类型一：三角形的外心。 例 1．已知：三个村庄分别是A、B、C，其位置如图所示，现在 A 三个村庄联合打一机井向三个村庄供水，为了使机井到三个村庄的距 离相等，请你帮助他们设计一个方案，找到机井的位置。 分析：这是一个实际问题，它的本质就是寻求一个点P 到A、B、 P B C C三个点的距离相等。因此，可以作三边的垂直平分线，相交于点P， 则点P 为所求。 说明：这是三角形外心最为常见的应用。只要是到三个顶点距离相等，就是作出任意两边的垂直平分 线的交点。 C A 2 ．类型二：垂直平分线+ 角平分线型。 例2．如图，CD 垂直平分AB，AB 平分∠CAD．求证：AD∥BC． A B 分析：要证明AD∥BC，只要证明∠B＝∠DAB； 根据AB 平分 ∠CAD，只要证明∠B＝∠CAB 即可，这由CD 垂直平分AB 即可得到。 D B 说明：这个模型与“角平分线+等腰型”恰好是吻合的，只要已知了角平分线和等腰三角形就一定会出 现平行，而垂直平分线正好是等腰的判定。用此法就无需再去证明全等，简单并且快速。 附思路图： 3 ．类型三：垂直平分线+平行型。 例3．已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD．BC 分别交于E、F．求 证：四边形AFCE 是菱形。 E A D 分析：我们知道对角线互相垂直的平行四边形是菱形，→已知 EF 垂直平分AC，→只需要证明对角线互相平分即可，→只要OE O OF 即可。→找到OE 与OF 分别所在的结构。△AOE 和△COF。 B C F →只需证明全等即可。已知EF 垂直平分AC，一条边对应相等。AO OC，最后只缺角相等，由平行就可 以得出。 附思路图： 说明：垂直平分线只要和平行组合在一起，就能产生菱形。这是一个菱形判定中最为常见的模型，实