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证明复内积空间中的极化恒等式 矢量空间Rn中的复内积是指对向量任意两个分量的复数乘积之和，其等式的一般表示形式为： \[\left\langle u, v \right\rangle= \sum_{i=1}^n u_ie_i v_ie_i^*,\] 其中u和v分别为空间中的两个任意向量，u、v的分量u1…un、v1…vn分别表示复数的实数部分和虚数部分， e1…en 为数量为单位的一维基底向量，e1^*…en^* 为其共轭向量。 极化恒等式是指在矢量空间中，经过(1)或其他方式解释正负号，有关极化的等式： \[\left\langle u, v \right\rangle= \sum_{i=1}^n \alpha_i \beta_i\] 其中α1…αn为u分量的极化形式，β1…βn为v分量的极化形式，它们可以是实数，也可以是复数。 证明： 由(1)可知： 其中u1…un为u分量，v1…vn为v分量，e1…en 为数量为单位的一维基底向量，e1^*…en^*为其共轭向量。 将u1…un、v1…vn分别极化，可得： 将(2)式子代入(1)式子中，可得： 由数量为单位的e1…en 为一维基底向量的性质可知，一维基底向量的复数乘积等于其共轭向量的复数乘积，即： \[e_ie_i^*=|e_i|^2=1\] 即极化恒等式成立。