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第一页,共二十九页,2022年,8月28日 §1 引言 一、数值学科的发展历史及现状 现状 特点: (1)应用广泛 边缘学科 计算机模拟实验(指纹、人脸识别等,爆炸模拟等) 科学与工程计算 (2)主要工作 误差评估(讨论方法的好坏) 寻求适合计算机计算的方法 抽象性; 严密的科学性; 应用的广泛性; 使用的高技术性 历史 (经典的工程数学问题) (1)应用方面:解决一些不能求得精确解的问题(近似解) 第二页,共二十九页,2022年,8月28日 二、数值分析的研究对象 对象—— 分析实际工程计算问题,由数学模型提出求解的数值计算方法并编程计算出结果,然后进行误差分析。 (2)数值计算本身的特点 构造性: 递推性: 离散化: 近似替代: 计算离散点上的近似值;有可靠的理论分析;算法理论主要是连续系统的离散化数值求解。 方法的构造,解的存在唯一性的证明 复杂计算过程转化成简单的计算过程的多次重复(适合计算机计算) 在误差允许的范围内,无限次的计算用有限次计算替代 模拟仿真: 可通过计算机的仿真实验验证实际的工程计算 第三页,共二十九页,2022年,8月28日 解决现代工程技术问题的基本过程(如左图) 数值分析是研究适合于在计算机上使用的实际可行、理论可靠、计算复杂性好的数值计算方法。 分析实际问题 数值计算方法 数学模型 程序设计 上机计算结果 实际工程计算软件的基础是数值计算方法—算法,是数值分析课程研究的核心对象。 构造算法的基本手段:近似 研究算法的核心问题:近似对计算的影响—误差分析 结论: 第四页,共二十九页,2022年,8月28日 §2 误差与有效数字 一、误差种类与来源 认识实际问题 观测误差 数值计算方法 数学模型 程序设计 上机计算求出结果 模型误差 截断误差 舍入误差 观测误差(或称测量误差) 由数据观测产生的误差 模型误差 数学模型是实际问题的抽象和简化,其间存在误差 截断误差(或方法误差) 由于问题不能精确求解,近似计算的方法所引起 舍入误差(课后详细阅读课本p.22相关内容) 计算机实现计算时,机器的有限字长所造成 第五页,共二十九页,2022年,8月28日 例1 解: 3216… 失之毫厘,差之千里! 原因 —— 误差的传播与累积 第六页,共二十九页,2022年,8月28日 二、误差的基本概念(从误差度量上来说) 1. 绝对误差 定义:设某量的准确值为x, 是 x 的近似值, 绝对误差限。 例2 电流表、电压表等仪器。 例3 通常 x 是未知的,故 未知 , 但一般地 ? 已知。 绝对误差不是误差的绝对值,即 可正可负。 * 的绝对误差。 为 x 称 * - = x x x e ) ( 第七页,共二十九页,2022年,8月28日 2. 相对误差 定义: 设某量的准确值为 x, 是 x 的近似值, 准确值之比 为 的相对误差。 称δ为 的相对误差限。 例4 解: 但 是 的一个好的近似, 不是 的好的近似. 称绝对误差与 Why? 第八页,共二十九页,2022年,8月28日 近似值的相对误差是近似值精确度的基本度量,一个近似值 的相对误差越小,则近似值越精确。 结论: 通常将 作为 的相对误差。 较小时 相对误差限δ是未知的,但可以确定 是一个无量纲的数, 。 第九页,共二十九页,2022年,8月28日 三、有效数字 定义: 设 x 为准确值, 为 x 的近似值且 可表示为 若 的绝对误差 其中 为 0, 1, … , 9 中的一个数字。 误差不超过m-n位的半个单位 即 有n位有效数字, 或说 准确到 m-n 位。 字为 的有效数字,记为n, 则称该位到 的第一位非零数 满足 , 有效数字的位数不能仅考虑 例5 5位有效数字 1位有效数字 第十页,共二十九页,2022年,8月28日 一个十进制数近似值的有效数字,不受单位制的影响。如 作为 的近似值,与
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