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第 3 届质心数学竞赛模拟测试 (一试)
第3 届
ZMO 数学竞赛模拟测试 (一试)
6
1. 满足x(2x ) = 3 的正实数x 为 ．
2. x , y 为正实数. 设a = 1 + x , b = 1 + y . 若a2 + b2 = 15, 则a3 + b3 为 ．
y x
3. 用 [x] 表示不超过实数x 的最大整数. 则 [ 2 1 1 ] = .
√
sin
2019
4. f (x) = x4 + ax2 + bx + c 的三个根为2, −3 和5, 则a + b + c 为 ．
5. 一个正四面体的两个顶点位于某个正方体的体对角线上, 另外两个顶点位于不与这条体
对角线相交的面对角线上. 若正方体的边长为 12, 则正四面体的边长为 ．
6. 一个被做了手脚的硬币有以下性质, 如果被投掷四次, 获得两次正面朝上和三次正面朝上
的概率是一样的. 则投掷一次, 正面朝上的概率为 ．
7. 对于任意的正实数x , y , 我们定义一种新的运算⋆ 满足(x ·y)⋆y = x(y ⋆y), (x ⋆ 1)⋆x = x ⋆ 1.
若 1 ⋆ 1 = 1, 则20 ⋆ 19 为 ．
8. 将6 × 6 网格的正方形染成红色或蓝色, 红色正方形的数量在每行和每列中恰好为2 的染
法数为 .
9. α,β, γ 是三个实数, 若
cos α + cosβ + cos γ = 1
sin α + sinβ + sin γ = 1
求满足条件的cos α 的最小值.
10. 已知椭圆的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 短轴长为2 √5, 离心率 √3 , 直线y = 1 x + m 交
2 2
椭圆于A , B 两点.
(1) 求线段AB 中点的轨迹方程.
(2) 设椭圆两焦点为F , F , 求四边形F AF B 的面积最大值.
1 2 1 2
11. 设f (x) = cx(x − 1), 其中c 为正实数. f n (x) 表示多项式对自己迭代n 次, 若对任意的正
整数n, f n (x) 的所有根均为实数, 求c 的最小值?
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ZMO 数学竞赛模拟测试 (答题纸)
第3 届
ZMO 数学竞赛模拟测试 (答题纸)
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填空题部分:
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
解答题部分:
9.
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