张禾瑞高等代数.pptx

会计学;伟大的数学家，诸如阿基米得、牛顿和高斯等，都把理论和应用视为同等重要而紧密相关。 ——克莱因（Klein F，1849－1925）;4.1 消元法; 前一章中我们只讨论了这样的线性方程组，这种方程组有相等个数的方程和未知量，并且方程组的系数行列式不等于零，在这一章我们要讨论一般的线性方程组：;例1 解线性方程组：;得到： ;;①交换两个方程的位置； ②用一个不等于零的数某一个方程； ③用一个数乘某一个方程后加到另一个方程. ;线性方程组的（1）的系数可以排成下面的一个表：;矩阵的初等变换;矩阵（3）和（4）分别叫作线性方程组（1）的系 数矩阵和增广矩阵. 一个线性方程组的增广矩阵显 然完全代表这个方程组. ;显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵. 因此我们将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题.下我们给出一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出. ;在例1中，我们曾把方程组（2）的系数矩阵 ;通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为 以下形式：;; 乘第一行，然后由其余各行分别减去第一行的适 当倍数，矩阵A化为;那么B 已有（5）的形式. 设B 的后m – 1 行中有 一个元素b 不为零，把b 换到第二行第二列的 交点位置，然后用上面同样的方法，可把B 化为;显然的. 只要把由第一，第二，…，第r – 1 行 分别减去第r 行的适当倍数，再由第一，第二，…， 第r – 2行分别减去第r – 1行的适当倍数，等等. ;用消元法解线性方程组;与（7）相当的线性方程组是;由于方程组（8）可以由方程组（1）通过方程组的初等变换以及交换未知量的位置而得到，所以由定理，方程组（8）与方程组（1）同解. 因此，要解方程组（1），只需解方程组（8）. 但方程组（8）是否有解以及有怎样的解都容易看出. ;情形2，;当r n 时，方程组（9）可以改写成 ;;叫做自由未知量，而把（10）叫做方程组（1）的 一般解. ; ;由第二行减去第三行的2倍，得 ;例3 解线性方程组 ;;;;4.2.1 k阶子??、 矩阵秩的定义 用初等变换求矩阵的秩 ;;;矩阵的秩 利用一个矩阵的元素可以构成一系列的行列式. ;定义2 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩. 若一个矩阵没有不等于零的子式，就认为这个矩阵的秩是零. 按照定义，一个矩阵的秩的不能超过这个矩阵的行的个数，也不能超过它的列的个数. 一个矩阵A的秩用秩A来表示. 显然，只有当一个矩阵的元素都为零是，这个矩阵的秩才能是零.;证明 我们先说明以下事实：若是对一个矩阵A施行某一行或列的初等变换而等到矩阵B，那么对B施行同一种初等变换又可以得到A. 事实上，若是交换A的第i行与第j行而得到B，那么交换B 的第i行与第j列就得到A；若是把A的第i行乘以一不等于零的数a而得到B，那么将B的第i行乘以1/a就又可以得到A；若是把A的第j行乘以数k加到第i行得到B，那么B的第j行乘以 – k加到第i行就得到A. 列的初等变换的情形显然完全一样. 现在我们就用第三种行初等变换来证明定理. ;;;;但我们也可以对矩阵B 施行第三种行初等变换而得到 矩阵A. 因此，也有;;4.2.2 线性方程组可解的判别法;;故定理得证. ;1.内容分布 4.3.1 线性方程组的公式解 4.3.2 齐次线性方程组及其非零解的概念 4.3.3 齐次线性方程组有非零解的条件 2.教学目的 1)会用公式解法解线性方程组 2)掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件 3.重点难点 齐次线性方程组有非零解的充要条件;4.3.1 线性方程组的公式解;那么在这三个方程间有以下关系：;;;;看作是未知量，而来证明线;; 假定方程组（1）满足定理4.3.1的条件，于是由定理4.3.1，解方程组（1），只需解方程组（3）。我们分别看 的情形。;;;这里 都是可以由方程组（1）的系数和常数项表示的数。现仍旧把（6）中 看成未知量，那么（6）是一个线性方程组，从以上的讨论容易看出，方程组（6）与方程组（3’）同解，因而和方程组（1）同解。正如用消元法解线性方程组的情形一样，方程组（6）给出方程组（1）的一般解，而 是自由未知量，要求方程组（1）的一个解，只需给予自由未知量 任意一组数值，然后由（6）算出未知量