考研《线性代数》考点与考研真题详解.pdf

考研《线性代数》考点与考研真题详解 第 1 章 行列式 1.1 考点归纳 一、行列式的相关概念 1n 阶定义 设有 n2 个数，排成 n 行 n 列的数表，记作 称为 n 阶行列式，简记作 det （aij ），其中数aij 行列式 D 的第（i，j ）元素。 2 两类典型的 n 阶行列式 （1）下（上）三角形行列式 （2 ）对角行列式 3 逆序数 （1）定义 对于n 个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序 （例如，个不同的自然 数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n 个元素的任一排列中，当某两个 元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1 个逆序．一个排列中所有逆序的总 数称为这个排列的逆序数。 （2 ）计算 设n 个元素为1 至n 这n 个自然数，并规定由小到大为标准次序．设P1P2P3…Pn 为这n 个自然数的一个排列，考虑元素Pi （i＝1,2,…,n），如果比Pi 大的且排 在Pi 前面的元素有ti 个，则称Pi 这个元素的逆序数为ti ．全体元素的逆序数之 总和 4 对换 （1）定义 对换是在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动；将相邻两个元素对换称 为相邻对换。 （2 ）性质 ①排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。 ②奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数 为偶数。 二、行列式的性质 （1）行列式与它的转置行列式相等。 （2 ）对换行列式的两行（列），行列式变号。 （3 ）如果行列式有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。 （4 ）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数k，等于用数k 乘此行列 式。 （5 ）若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可以将该行列式拆分成 两个行列式之和。 （6 ）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应 的元素上去，行列式不变。 三、行列计算 1 余子式与代数余子式 （1）定义 在n 阶行列式中，把（i，j ）元aij 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n－1 阶行列式称为（i，j ）元aij 的余子式，记作Mij；记 Aij 称为（i，j ）元aij 的代数余子式。 （2 ）性质 或 2 计算方法 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 或 3 范德蒙德行列式