24.4弧长和扇形面积（第2课时）（教案）2022-2023学年初中数学人教版九年级上册.docx

PAGE 2 第二十四章 圆 24.4弧长和扇形面积（第2课时） 教学设计 一、教学目标 1.会计算圆锥的侧面积和全面积，并会解决实际问题； 2.增强学生用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的空间观念； 3.引导学生对圆锥展开图的认识，培养学生空间观念，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答实际问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心. 二、教学重难点 1. 教学重点 圆锥的侧面积和全面积的计算 2. 教学难点 明确扇形中各元素与圆锥各个元素之间的关系 三、教学过程 （一）新课导入 如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽绳 是圆锥形，，底面半径，要生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算至少需多少平方米的材料吗？ 不计接缝用料和余料，π取3.14 教师提出问题，激发学生学习新知识的热情. （最后圆锥面积探索出来后，解决此题） （二）探索新知 欣赏圆锥： 结合图形，介绍圆锥的有关概念 圆锥的相关概念： 圆锥：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体（如图所示）.圆锥可以看成是由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形. 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上认识一点的线段叫做圆锥的母线. 圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高. 圆锥的基本特征： ①圆锥的轴通过底面的圆心，并垂直于底面； ②圆锥的母线有无数条，它们的长都相等； ③圆锥的母线l、圆锥的高h、圆锥底面圆的半径r恰好构成一个直角三角形（如图所示），满足，利用这一关系，已知任意两个量，可以求出第三个量. 及时练： 根据下列条件求值（其中r，h，l分别是圆锥的底面半径，高线，母线长） （1）l＝2，r＝1，则h＝ ； （2）h＝3，r＝4，则l＝ ；5 （3）l＝10，h＝8，则r＝ ；6 思考： 圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算圆锥的侧面积？如何计算圆锥的全面积？ 展开图是扇形. 继续提问 （1）沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系? 相等 （2）圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？ 母线 所以圆锥的侧面展开图是一个以圆锥的母线长为半径的扇形；如果圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，由此可以求出这个扇形的面积为，即圆锥的侧面积为； 圆锥的全面积＝圆锥的侧面积+圆锥的底面积＝ 例3 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如果想用毛毡搭建20个底面积为12m2，高为3.2m，外围高1.8m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（π取3.142，结果取整数）？ 解：如图是一个蒙古包的示意图. 根据题意，下部圆柱的底面积为12m2，高h2＝1.8m；上部圆锥的高h1＝3.2－1.8＝1.4（m） 圆柱的底面圆的半径 侧面积为 圆锥的母线长 侧面展开扇形的弧长为 圆锥的侧面积为 因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡 思考题：利用圆锥的侧面展开图求最短距离 如图，有一个圆锥形的粮堆，其轴截面是边长为6m的等边三角形，在圆锥的母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在点B处，它要沿圆锥侧面到达点P处捕捉老鼠.求小猫所经过的最短路径. 解题秘诀：要求小猫所经过的最短路径，需将圆锥的侧面展开，根据“两点之间线段最短”找出最短路径，再进行计算. 解：由题意知，圆锥底面圆的直径BC＝6m， 故圆锥底面圆的周长为6πm. 设圆锥侧面展开后的扇形的圆心角为n°， 则，解得， 所以展开后， 所以圆锥的展开图如图所示. 又， 所以在中，， 所以小猫所经过的最短路程为. 技巧点拨：化“曲面”为“平面”解决最短距离问题 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化“曲面”为“平面”，再利用勾股定理解决问题的. 练习 1.如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12 cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为( ) A.10 cm B.20 cm C.5 cm D.24 cm 【答案】D 【解析】设母线的长为R，由题意得，，解得，母线的长为24 cm，故选：D. 2.如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且（表示的长），若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】连接OD交AC于点M，如图.由折叠可得，，，.，.设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则，.故选D. 3.如图是一个圆锥形雪糕冰激凌外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm.则这个冰激凌外壳的侧面积等于____________.