浙江大学《数值分析》课件-第6章数值积分.pptVIP

§4 Euler-Maclaurin公式 33 §4 Euler-Maclaurin公式 34 §4 Euler-Maclaurin公式 35 §4 Euler-Maclaurin公式 36 §4 Euler-Maclaurin公式 37 §4 Euler-Maclaurin公式 38 §4 Euler-Maclaurin公式 39 §4 Euler-Maclaurin公式 40 §4 Euler-Maclaurin公式 41 §4 Euler-Maclaurin公式 42 §5 Romberg积分法 1 §5 Romberg积分法 2 §5 Romberg积分法 3 §5 Romberg积分法 4 §5 Romberg积分法 5 §5 Romberg积分法 6 §5 Romberg积分法 7 §5 Romberg积分法 8 §5 Romberg积分法 9 假设 f(x)为定义在有限区间[a,b]上的可积函数，我们要计算定积分 如果F(x)是 f(x) 的一个原函数，那么可以直接利用公式 来计算它。但是，在实际问题中，这样做往往有困难。有些被积函数f(x)的原 函数不能用初等函数表示成有限的形式，例如， 等等；有 些被积函数，尽管他们的原函数可以用初等函数表示成有限的形式，但是表达 式却很复杂，对于这些问题，使用这个公式来计算定积分是很不方便的。甚至 有些被积函数 f(x) 没有具体的解析表达式，仅知道 f(x) 在某些离散点的值，这 就无法应用这个公式了。因此有必要研究计算定积分的数值方法。 现在，我们来考虑更一般的情形，设(a,b)有限或无穷区间，欲计算积分 其中 W(x) 为权函数，它满足下面两个条件： 第六章 数值积分 2 浙江大学《数值分析》 （1）在(a,b)中， ，并且只能有限个零点； （2） 存在， 计算I(f)的常用的数值方法是用被积函数 f(x) 在若干个点 处的值 的线性组合： 作为 I(f) 的近似值： I(f) 陈为数值积分公式或求积公式； 称为求积基点； 称为求积系数，它们与 f(x) 无关。 一般地， 称为求积公式的余项或离散误差。 第六章 数值积分 3 §1 Newton-Cotes型数值积分公式 §2 复合求积公式 §3 区间逐次分半法 §4 Euler-Maclaurin公式 §5 Romberg公式 §6 自适应Simpson积分法 §7 直交多项式 §8 Gauss型数值求积公式 §9 重积分计算 第六章 数值积分 4 通常，我们用简单的，便于积分的且又逼进被积函数 f(x)的函数 代替 f(x)来构造求积公式。由于多项式不但方便计算，而且容易积分，因此，常取 为一个多项式。例如，取 为关于基点 的Lagrange插值多项式 其中 为 Lagrange基本多项式 于是 其中 §1 Newton-Cotes型数值积分公式 5 此时， 称为插值求积公式。假设 f(x) 具有n+1阶连续导数，则离散误差为 1.1 Newton-Cotes型求积公式 设[a,b]为有限区间，W(x)=1,并且基点 为等距基点，即步长 相应的公式（1.2） 便称为（n 阶）Newton-cotes型求积公式， 称为Cotes系数.．此时， 令 则 §1 Newton-Cotes型数值积分公式 ６ 因而 再令 其中， ，是诸 的公因子，则（1.1）和（1.2）分别写成 §1 Newton-Cotes型数值积分公式 ７ §1 Newton-Cotes型数值积分公式 8 §1.2 梯形公式和Simpson公式 9 §1.2 梯形公式和Simpson公式 10 §1.2 梯形公式和Simpson公式 11 §1.3 误差、收敛性和数值稳定性 12 §1.3 误