高中数学教学与测试总复习教师用书(苏大) --第3章（9-12）.docx

9 幂函数与二次函数 本课导航 通过具体实例，结合函数y=x，，，，的图象了解幂函数，理解它们的变化规律，了解它们的变化情况；理解并掌握二次函数的定义、图象及性质. 1.一般地，形如（αR）的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数. 2.二次函数解析式的三种形式.一般式：（a≠0）；顶点式：（a≠0）；两根式：（a≠0）. 3.有关幂函数的几个结论.对于形如（其中mN*，nZ，m与n互质）的幂函数： （1）当n为偶数时，f（x）为偶函数，图象关于y轴对称； （2）当m，n都为奇数时，f（x）为奇函数，图象关于原点对称； （3）当m为偶数时，（或），f（x）是非奇非偶函数，图象位于第一象限（或第一象限及原点处）. 4.二次函数在闭区间上的最值. 设二次函数（），闭区间为[m，n]. （1）当时，最小值为f（m），最大值为f（n）； （2）当时，最小值为，最大值为f（n）； （3）当时，最小值为，最大值为f（m）； （4）当时，最小值为f（n），最大值为f（m）. 课前热身 1.已知幂函数y=f（x）的图象经过点，则f（2）= （ ） A. B.4 C. D.2 【答案】C 【解析】设，∵图象过点，∴，解得，∴. 2.已知幂函数（nZ）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，则n的值为 （ ） A.－3 B.1 C.2 D.1或2 【答案】B 【解析】由于f（x）为幂函数，所以，解得n=1或n=－3.当n=1时，函数f（x）=x－2为偶函数，其图象关于y轴对称，且f（x）在（0，+∞）上是减函数，所以n=1满足题意；当n=－3时，函数为偶函数，其图象关于y轴对称，而f（x）在（0，+∞）上是增函数，所以n=－3不满足题意，舍去.故选B. 3.（多选）已知函数的定义域为（－2，3），则函数的单调递增区间是 （ ） A.（－∞，－1） B.（－3，－1） C.（0，1） D.（1，3） 【答案】BC 【解析】因为函数的定义域为（－2，3），对称轴为直线x=1，开口向下，所以函数满足，所以.又，且图象的对称轴为直线x=－1，所以由二次函数的图象与性质可知，函数的单调递增区间是（－3，－1）和（0，1）.故选BC. 4.已知幂函数y=f（x）的图象过点，则此函数的解析式为 ，在区间上递减 . 【答案】，（0，+∞）. 【解析】设，因为图象过点，代入解析式得α=，则，由性质可知函数在（0，+∞）上递减. 课堂示例 例1 已知二次函数f（x）满足f（2）=－1，f（－1）=－1，且f（x）的最大值是8，求二次函数f（x）的解析式. 【答案】. 【解析】法1：（利用二次函数的一般式）设（a≠0）.由题意得解得故所求二次函数为. 法2：（利用二次函数的顶点式）设f（x）=a（x－m）2+n（a≠0）.∵f（2）=f（－1），∴抛物线对称轴为，∴，又根据题意函数有最大值8，∴n=8，∴.∵f（2）=－1，∴，解得a=－4，∴. 法3：（利用二次函数的零点式）由已知f（x）+1=0的两根为，，故可设f（x）+1=a（x－2）（x+1），即.又函数有最大值，即，解得a=－4或a=0（舍去），故所求函数解析式为. 【情景与层级】本题情景为课程教学情景，层级为基础性. 【题眼与方法】本题的题眼为通过设出二次函数的解析式，应用选定系数法，结合求最值的方法求得解析式. 【能力与素养】本题考查的学科素养为逻辑推理与数学运算，运算求解能力在问题解决的过程得到了充分体现. 变式1 （1）已知二次函数f（x）的图象的顶点坐标是（－2，－1），且图象经过点（1，0），则函数的解析式为f（x）= . （2）已知二次函数f（x）的图象经过点（4，3），它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f（2－x）=f（2+x），则函数的解析式f（x）= . 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）法1：设所求解析式为（a≠0）.由已知得解得所以所求解析式为. 法2：设所求解析式为（a≠0）.依题意得解得所以所求解析式为. 法3：设所求解析式为.由已知得，将点（1，0）代入，得，所以，即. （2）∵f（2－x）=f（2+x）对xR恒成立，∴f（x）的对称轴为x=2.又∵f（x）的图象被x轴截得的线段长为2，∴f（x）=0的两根为