第8章最优消费和投资离散时间.ppt

最优化的一阶条件： 第三十页，共六十二页。 根据上式中的第二个一阶条件，第一个一阶条件又可以表示为： 第三十一页，共六十二页。 如果用T-1 期的价值函数（2-6）式对W 做微分（使用连锁法则和导数基本运算法则），就有： 第三十二页，共六十二页。 第三十三页，共六十二页。 它的经济学含义就是：在消费者均衡时，当期消费的边际效用就等于财富（未来消费）的边际效用。当期消费与投资比例的选择既影响生活质量U1（C） ，也影响投资预算基金的数量。当前每增加一单位的消费就减少可投资的财富，因而获得时际最优的标准条件就是 消费的边际效用等于财富的边际效用。 而且根据上式容易知道，因为 U CC 0，所以有 J WW 0 ，因此J 是财富的严格凹函数。 第三十四页，共六十二页。 第三十五页，共六十二页。 可以继续对倒数第二期做类似的工作，这时的价值函数为： 第三十六页，共六十二页。 把这一个重复（recursive）过程递推到T-3、T-4 ，?， t 时期。根据最优化原理，在t 期价值函数的一般形式是： 第三十七页，共六十二页。 类似地可以获得n + 1 个一般最优化条件（general optimality condition）： 第三十八页，共六十二页。 把它们代入价值函数并求解，就可以得出J[W(t),t]。如此这般反复，叠代到最后的0时期，问题就彻底解决了。 回顾前一章中的静态问题，可以发现在静态模型中，个人以最大化期末财富为惟一目标，效用函数是外生的，且仅仅包含期末财富这一个变量（如最大化二次效用，进而导出均方原则）。而在跨期模型中的（期间）财富的效用函数是内生、引至的。不仅如此，它还取决于状态变量S(t) 。 第三十九页，共六十二页。 特殊形式的效用函数:对数效用函数 效用函数 第四十页，共六十二页。 根据（2-6）式,T-1 时期的价值函数就是： 第四十一页，共六十二页。 注意?上面的T-1 是指T-1 到T 这一个时间段；而且以上W 、 w *和 C *均为T-1 时期的数值，化简得 第四十二页，共六十二页。 结论1：我们看到在对数效用函数这样一个特例中，最优消费水平是独立于资产收益条件（投资机会）的，消费随着财富水平的增加而递增，随着贴现因子的增加而减少。如果消费者时间偏好为0，即?=1 ，这就是说投资者对于同等数量的当前消费和未来消费是无差异的。则他会把财富的一半用于当期消费，而另一半作为投资（或者遗产）。如果他有正的时间偏好，即??1 ，则他会消费得更多一些。 第四十三页，共六十二页。 结论2：最优资产组合比例：根据（2-7）式提供的第二个一阶最优条件，把函数的具体形式代入，就有： 第四十四页，共六十二页。 * 第8章 最优消费和投资：离散时间 第一页，共六十二页。 第二页，共六十二页。 基本分析框架 典型消费者个人将生存一段时期[0,T]，他会有一个大于0 的初始财富或者说资源禀赋W(0) ；在生存过程中，他会获得一些非资本（non-capital）收入?(t) （例如工资）；在生存的每一天中，他必须决定把可供支配的财富（资源），用于当前消费C 和投资积累I 上（投资将提供下一时刻的资本收入）；在最后时刻留下一部分遗产W(T ) 给后人。这时，两个基本选择问题，即消费多少（也就是投资多少）和如何投资（资产组合），必须同时被决定。消费者这种不断的选择行为的目的就是使得他们终身效用最大化。 第三页，共六十二页。 目标函数 其中T 是投资者的寿命；C(t) 是投资者年龄为t 时选择的消费数量；W (t) 是t 时刻的财富（或者遗产）；Et (.) t是基于t 时刻所有已经揭示出的信息的条件期望算子。Ut[C (t), t] 是效用函数，在整个定义域内，它被假定是单调递增和凹的；U2[W（T），T] 是基于期末财富或者说遗产的效用函数（bequest valuation function），它也是单调递增和凹的。 第四页，共六十二页。 约束条件 其中? 就是非资本收入，广义上I 泛指各种投资，但这里实际上仅仅包括对市场上可交易的有价证券的投资。经济体系中的风险， 就源自于非资本收入和投资机会集合（investment opportunity set）（也即资本收入）的不确定性。 第五页，共六十二页。 第六页，共六十二页。 最优消费/投资决策：离散时间 第七页，共六十二页。 所谓随机最优控制，就是试图在一个由随机因素驱动的成长路径上，通过采用适当的策略来最优化目标函数。这里的消费多少和如何投资，就是由投资者决定的控制变量（controlled variable ）或者说决策（decision），通过一