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组合数学第五版答案
【篇一:组合数学参考答案(卢开澄第四版)60页】
使其满足 (1)|a-b|=5; (2)|a-b|?5;
解:(1):由|a-b|=5?a-b=5或者a-b=-5,
由列举法得出,当a-b=5时,两数的序列为(6,1)(7,2)……(50,45),共有45对。 当a-b=-5时,两数的序列为(1,6),(2,7)……(45,50)也有45对。 所以这样的序列有90对。 (2):由题意知,|a-b|?5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0; 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。 当|a-b|=1时两数的序列有(1,2),(3,4),(2,1)(1,2)…(49,50),(50,49)这样的序列有49*2=98对。 当此类推当|a-b|=2,序列有48*2=96对,当|a-b|=3时,序列有47*2=94对,当|a-b|=4时,序列有46*2=92对, 当|a-b|=0时有50对
所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520
1.2题 5个女生,7个男生进行排列,(a) 若女生在一起有多少种不同的排列?(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列?(c) 两男生a和b之间正好有3个女生的排列是多少?
所以总的排列数为上述6种情况之和。
1.3题 m个男生,n个女生,排成一行,其中m,n都是正整数,若
(a)男生不相邻(m?n?1); (b)n个女生形成一个整体;(c)男生a和女生b排在一起; 分别讨论有多少种方案。
解:(a) 可以考虑插空的方法。
n个女生先排成一排,形成n+1个空。因为m?n?1正好m个男生可以插在n+1个空中,形成不相邻的关系。
则男生不相邻的排列个数为
pp
n
n
?
n?1m
(b) n个女生形成一个整体有n!种可能,把它看作一个整体和m个男生排在一起,则排列数有(m+1)!种可能。 因此,共有n!?(m?1)!种可能。
(c)男生a和女生b排在一起,因为男生和女生可以交换位置,因此有2!种可能, a、b组合在一起和剩下的学生组成排列有(m+n-1)!
(这里实际上是m+n-2个学生和ab的组合形成的)种可能。共有组合数为2!?(m?n?1)! 1.4题 26个英文字母进行排列,求x和y之间有5个字母的排列数解:c(24,5)*13!
1.5题 求3000到8000之间的奇整数的数目,而且没有相同的数字。
n
1.7题 试证:(n?1)(n?2)?(2n)被2除尽。
n
证明:因(2n)!?2n!(2n?1)!!
(n?1)(n?2)?(2n)n!(n?1)(n?2)?(2n)(2n)!
???(2n?1)!! nnn
2n!2n!2
因为(2n-1)!!是整数所以(n?1)(n?2)?(2n)能被2n除尽。
1.8题 求10和20的公因数数目。
404040403010306030402030
解:因为10?2*5?2*5*520?2*5?2*2*5
4030
它们最大公因子为2*5转化为求 最大公因子 能除尽的整数个数,能除尽它的整数是
ab
2*5,0??a??40,0??b??30
根据乘法法则,能除尽它的数个数为41*31=1271
2
1.9题 试证n的正除数的数目是奇数。
22
证明:设有0?a?n,n?b?n, 则一定有表达式n?a?b,
则 可知符合范围的a和b必成对出现,所以为偶数。
22
又当a=b=n时,表达式n=a?b仍然成立。所以n的正除数的数目是―偶数?1‖为奇数。 1.10题 证任一正整数n可唯一地表成如下形式:
证:对n用归纳法。
,0≤ai≤i,i=1,2,…。
4030
由假设对n-k!,命题成立,设
,其中ak≤k-1,,命题成立。
再证表示的唯一性:设
, 不妨设aj>bj,令j=max{i|ai≠bi}
(aj?bj)?j!??(bi?ai)?i!?j!??i?i!??bi?ai?i!??(bi?ai)?i! 矛盾,命题成立。
1.11题 证明nc(n-1,r)= (r+1)c(n,r+1),并给予组合解释.
证:nc(n?1,r)?n
(n?1)!(r?1)?n!(r?1)?n!
???(r?1)c(n,r?1)
r!?(n?r?1)!(r?1)?r!?(n?r?1)!(r?1)!?(n?r?1)!
所以左边等于右边
组合意义:等式左边:n个不同的球,先任取出1个,再从余下的n-1个中取r个;
等式右边:n个不同球中任意取出r+1个,并指定其中任意一个为第一个。 所以两种方案数相同。 1.12题 证明等式:
?kc(n,
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