数学分析简明教程答案.pdfVIP

第十章 数项级数 §1 级数问题的提出 1．证明：假设微分方程 有多项式解 ， 则必有 ． 证明 由多项式解 得 ， . 从而 ， 且 . 将上述结果代入微分方程 ，得 . 比较系数得递推公式如下： 由此解得 ，因而 ． 2 ．试确定系数 ，使 满足勒让德方程 . 解 设 ，则 ， ，故 ， ， . 将上述结果代入勒让德方程 ，得 . 比较系数，得递推公式如下： 由此解得 从而可以得到 . 其中 取任何常数． §2 数项级数的收敛性及其根本性质 1．求以下级数的和： 〔1〕 ； 〔2〕 ； 〔3〕 ； 〔4〕 ； 〔5〕 ； 〔6〕 ． 解 〔1〕由于 ，故 ， 所以级数的和 . 〔2〕由于 ，故 . 所以级数的和 . 〔3〕 ． 〔4〕 ，因此欲求原级数的和，只需计算级数 即可．对级数 ，设其局部和 ，则 ， 故 . 从而 ，即 ，因此原级数 ． 〔5〕由于级数的局部和 ，故 ， 从中解得 . 又由于当 时， ，故 ， 因此 ． 〔6〕级数的局部和 ，从而 ， 从中解得 . 因此 ． 2 ．讨论以下级数的敛散性： 〔1〕 ； 〔2〕 ； 〔3〕