高三复习——直线与平面垂直的判定和性质(公开课).docVIP

直线与平面垂直的判定和性质 教学目标： 理解线面垂直的定义，总结线面垂直的判定方法和性质，形成系统的知识结构； 树立数学定理即数学模型的意识，能从实际问题情境中找到符合定理模型的基本元素，从而解决问题，提高数学建模和直观想象素养； 通过应用定理解决实际问题，进一步强调等价转换和“降维”思想，体会数学定理作为一种基本模型的应用价值，提高逻辑推理素养； 通过“鳖臑”的引入，体会我国古代数学家对人类的数学贡献，增强民族自信和民族自豪感。 教学重点与难点： 从具体几何问题中分离出定理模型并找到符合定理模型的基本元素，解决问题； 在解决问题时，渗透“立体问题平面化”的“降维”处理，培养学生的等价转换思想。 教学内容与过程： 构建知识框架 1.线面垂直的定义 什么样的直线和平面是垂直关系呢？ 直线l与平面α内的任一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直，此时直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。 2.判定直线和平面垂直的方法（文字语言、符号语言、图形语言三种形式表达） 判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 = 1 \* GB3 ① 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． = 2 \* GB3 ② 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α = 3 \* GB3 ③ 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． = 4 \* GB3 ④ 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么也垂直于另一个. 3.直线和平面垂直的性质 性质 文字语言 图形语言 符号语言 = 1 \* GB3 ① 直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． = 2 \* GB3 ② 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β = 3 \* GB3 ③ 垂直于同一个平面的两条直线平行． eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b = 4 \* GB3 ④ 垂直于同一直线的两平面平行． 其实，能够判定线面垂直的方法远不止这么多，线面垂直的性质也不只这几个，那么我们为什么选定了这些作为定理呢？其实他们都是立体几何问题中的基本模型，我们在遇到复杂的几何问题时，都可以分离出这些基本的定理模型。我们通过这节课的学习，就是要能够在具体问题中，确定需要的定理模型，并找到符合定理模型的基本元素，从而得到我们需要的结论。 4.牛刀小试 我们掌握了那么多线面垂直的判定方法，现在就试着在图形中找找互相垂直的直线和平面有哪些吧。 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点．你还能发现哪些线面垂直关系？ 对于这样简单的几何体，我们很快就可以从中看出定理模型，找到模型中所需的元素，得到想要的结论，那么我们在这个图上继续构造，让图形复杂起来，继续探究其中的垂直关系。 例题分析 例. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E是PC的中点，EF⊥PB，垂足为F，连接DE,DF,BD,BE. （1）求证：PB⊥平面DEF； （2）试判断：四面体BDEF中有几个面是直角三角形，并指出其中的直角； （3）设M、N分别为AD、PB的中点，连接MN，MC，NC，求证：平面CMN⊥平面PBC. 引导分析：（1）要证明PB⊥平面DEF，你选择哪个模型？（“线面垂直判定定理”模型）模型中已经有哪个条件具备了？（已经有“EF⊥PB”）还缺的条件应该从哪里找？（“DF⊥PB”（共面垂直：从边长关系，中线长度等平面几何办法入手）)或者“DE⊥PB”（异面垂直：从平移成共面或线面垂直入手））。 证明：∵PD⊥面ABCD，且BC?面ABCD，∴PD⊥BC，又∵BC⊥CD，CD∩PD=D，CD,PD?面PCD，∴BC⊥面PCD.∵DE?面PCD，∴BC⊥DE.又∵DE⊥PC，BC∩PC=C，BC,PC?面PBC，∴DE⊥面PBC.∵PB?面PBC，∴DE⊥PB.又∵EF⊥PB，DE∩EF=E，DE,EF?面DEF，∴PB⊥面DEF. （2）找直角就是找线线垂直，线线垂直可以由“线面垂直性质定理模型”，先找线面垂直关系。（PB⊥平面DEF可以得到PB⊥DF,PB⊥EF，还有没有其他的线面垂直关系？DE⊥面PBC，所以DE⊥EF，DE⊥EB，四个面都是直角三角形。） （3）要得到面面垂直，要利用线面垂直的性质定理模型，先找线面垂直关系。对于平面CMN和平