微商的概念及其计算.pptxVIP

微商的概念及其计算例1第1页/共49页一.微商的背景非匀速运动物体的速度问题在真空中, 当时间由t 变到t+?t 时,自由落体所经过的路程为物体由 t 到 t + ?t 一段的平均速度是从物理学看, 当?t?0 时, 应该有这是否也说明了一个什么问题?第2页/共49页求物体在时刻 t 的瞬时速度 vt ,就是令 ?t?0 的极限过程：例2第3页/共49页力学中的线密度问题设有一根可视为直线的棒上非均匀地分布着质量.直线的一端为原点, 线段 OP 的长度为l, 质量为 m,则 m 是 l 的函数：m = f (l ). 求点 P 处的线密度 ? .OPl?l比较两个极限式：与第4页/共49页给l 一个增量 ?l,则 ?l 这一段 ( PP )的平均密度是而在 P 点处的线密度就是 ?l ? 0 平均密度的极限：小结第5页/共49页解决与速度变化或变化率相关问题的步骤:(1) 建立一个函数关系 y = f (x) ,x?I .(2) 求函数由 x0 到 x0+ ?x 的平均变化率：(3) 求 ?x ? 0 的极限：存在,如果极限第6页/共49页二.导数的概念1. 导数的定义定义设函数f (x)在 U(x0) 有定义,且 x0+?x ? U(x0).则称函数 f (x) 在点 x0 处可导, 极限值 a 称为 f (x) 在点 x0 处的导数. 记为第7页/共49页如果函数 f (x) 在点 x0 处可导, 则k ? 0为常数.第8页/共49页2.导数的几何意义 — 平面曲线的切线问题 平面曲线上切线的概念割线PQ切点切线PT切线方程:其中,第9页/共49页定义平面曲线 y = f (x) 的切线：曲线在点 A(x0, y0) 处的切线 AT 为过曲线上点 A 的任意一条割线 AA’ 当点 A’(x0+?x, y0+ ?y)沿曲线趋近于点 A 时的极限位置.例3解第10页/共49页求曲线 y = x2上任意一点处切线的斜率, 并求在点 (1, 1) 处的切线方程.在任意一点 x 处, 有在点(1, 1) 处 y –1= 2(x –1) , 即 y = 2x –1.故所求切线方程为：第11页/共49页3. 导函数定义若 ? x?(a, b), 函数 f (x) 皆可导, 则说 f (x) 在(a, b) 内可导. 这时 f ?(x) 是关于 x 的一个新函数,称之为 f (x) 在 (a, b) 内的导函数. 通常我们仍称之为 f (x) 在 (a, b) 内的导数：第12页/共49页三.可导与连续的关系设 f (x) 在点 x0 可导, 即有于是故定理4.1第13页/共49页函数 f (x) 在点 x0可导的必要条件是它在点 x0 连续.只是必要条件！第14页/共49页2.左、右导数定义设函数 f (x) 在 [x0 , x0+? ) 内有定义, 若存在, 则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的右导数. 记为第15页/共49页定义设函数 f (x) 在 (x0 – ? , x0] 内有定义, 若存在, 则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的左导数. 记为定理好像见过面啊！第16页/共49页例4解第17页/共49页y = | x | 在点 x = 0 连续, 但不可导.yy = | x |Ox故f ?(0) 不存在.若 f (x) 在 (a, b) 内可导, 且 存在,第18页/共49页定义则称 f (x )在 [a, b] 上可导,f ?(x) 称为 f (x) 在 [a, b] 上的导函数,简称为导数. 函数在点 x0? I 处的导数: 先求导、后代值.例5解第19页/共49页在点 x = 0 处的连续性和可导性.又? 当 n?N 时,函数在在点 x = 0 处连续.故 n 1时, 函数在 x = 0 处可导. 其导数为第20页/共49页当 n =1 时,不存在,故 n =1 时, 函数在 x = 0 处不可导.当 n 1 时,a + bx,x≤0y =在 x = 0 可导,设e – x,x 0求 a, b 之值.例6解1 + bx, x≤0f (x) =e – x,x 0第21页/共49页? f (x) 在 x = 0 处可导,? f (x) 在 x = 0 处连续,f (0) = a .f (0) = 1从而 1? x ,x ≤ 0f (x) =e – x,x 0第22页/共49页由可导性：故b = –1,此时函数为第23页/共49页三.基本初等函数的导数 推导一些基本公式啊 ！第24页/共49页1.y = C x? R ( C为常数 )Q? 通常说成：常数的导数为零.第25页/共49页2. 幂函数 ?等价无穷小替代?例7第26页/