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复合材料力学讲义 第一部分 简单层板宏观力学性能 各向异性材料的应力—应变关系 （1—1）应力—应变的广义虎克定律可以用简写符号写成为： （1—1） 其中 σ 为应力分量，C 为刚度矩阵 ε 为应变分量．对于应力和应变张量对称 i ij j 的情形(即不存在体积力的情况)，上述简写符号和常用的三维应力—应变张量符 号的对照列于表 1—1。 按表 1—l，用简写符号表示的应变定义为： 表 1—1 应力——应变的张量符号与简写符号的对照 注：γ （i≠j）代表工程剪应变，而 ε （i≠j）代表张量剪应变 （1—2）ij ij （1—2） 其中 u，v，w 是在 x，y，z 方向的位移。 在方程(1—2)中，刚度矩阵 C 有 30 个常数．但是当考虑应变能时可以证明 ij 弹性材料的实际独立常数是少于 36 个的．存在有弹性位能或应变能密度函数的 ij（1—3） i j （1—3） 作用于应变 dε 时，单位体积的功的增量为： （1—4）由应力—应变关系式(1—1)，功的增量为： （1—4） （1—5）沿整个应变积分，单位体积的功为： （1—5） （1—6）虎克定律关系式(1—1)可由方程(1—5)导出： （1—6） （1—7）于是 （1—7） （1—8）同样 （1—8） （1—9）因 W 的微分与次序无，所以： （1—9） （1—10）这样刚度矩阵是对称的且只有 21 个常数是独立的。用同样的方法我们可以证明： （1—10） 其中 S 是柔度矩阵，可由反演应力—变关系式来确定应变应力关系式为 （1—11）ij （1—11） （1—12）同理 （1—12） 即柔度矩阵是对称的，也只有 21 个独立常数．刚度和柔度分量可认为是弹性常数。 （1—13）在线性弹性范围内，应力—应变关系的一般表达式为： （1—13） 实际上，关系式(1—13)是表征各向异性材料的，因为材料性能没有对称平面．这 种各向异性材料的别名是全不对称材料．比各向异性材料有更多的性能对称性的材料将在下面几段中叙述．各种材料性能对称的应力—应变关系式的证明由蔡 （Tais）等给出。 （1—14）如果材料有一个性能对称平面应力—应变关系式可简化为 （1—14） 对称平是 z＝0．这种材料称为单对称材料．单对称材料有 13 个独立的弹性常数。如果材料有两个正交的材料性能对称平面则对于和这两个平面相垂直的第 （1—15）三个平面亦具有对称性。在沿材料主方向的坐标系中的应力—应变关系式是： （1—15） 该材料称为正交各向异性材料。注意到正应力 σ σ σ 和剪应变 ε ε ε 1 2 3 23 31 13 之间没有像各向异性材料中存在的(例如由 C 的存在)相互作用。同样，剪应力 14 和正应变之间没有相互作用，不同平面内的剪应力和剪应变之间也没有相互作 用。还注意到在刚度矩阵中现在只剩下 9 个独立常数。 （1—16）如果材料的每一点有一个各个方向的力学性能都相同的平面，那末该材料称为横观各向异性材料．例如，假定 1—2 平面是该特殊的各向同性平面，那末刚度中的下标 l 和 2 是可以互换的．这样应力—应变关系式中只有 5 个独立常数且可写成 （1—16） 如果材料有无穷多个性能对称平面那么上述关系式就简化为各向同性材料的情形，此时刚度炬阵中只有 2 个独立常数。 （1—17） 五种最常用的材料性能对称情形的应变—应力关系式见方程(1—18)，(1— 19)，(1—20)，(1—21)和(1—22)。 （1—18）各向异性材料(21 个独立常数) （1—18） （1—19）单对称材料(13 个独立常数)(对于 z=0 的平面对称) （1—19） 正交各向异性材料(9 个独立常数) (1-20)横观各向同性材料(5 个独立常数)(1-2 平面是各向同性平而) (1-20) （1—21） 各向同性材料(2 个独立常数) （1—22） 正交各向异性材料的工程常数 工程常数(也称技术常数)是广义的弹性模量、泊松比和剪切模量以及其它性能常数．这些常数可用简单试验如轴向拉伸和疲劳试验来确定．因而具有明显的物理解释．这些常数比上一节中使用的比较抽象的柔度和刚度矩阵更为直观。 最简单的试验是在已知载荷或应力下测量相应的位移或应变．这样柔度矩阵 比刚 S 比刚度矩阵 C ij ij 能更直接确定．对正交各向异性材料用工程常数表示的柔 度矩阵为 （1—23）其中 E （1—23） 1 E E ——分别为 1，2，3 方向上的弹性模量 2 3 ij（1—24）υ ——为应力在 i 方向作用时 j ij （1—24） 此处 σ ＝0，其它应力全为零 i G G G ——依次为 2—3，3—1，1—2 平面的剪切模量。 23 31 12 （1—25）对于正交各向异性材料，只有 9 个独立