比例线段的证明.pdfVIP

“成比例线段”定理及其应用与拓展 夏志雄 成比例线段问题贯穿平面几何的《相似形》与《圆》两大章的内容，本文将从成比例线段的 定义，性质及如何证明四条线段成比例问题作出探讨。 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比 例线段。 例：如果a、b、c、d四条线段满足 ，则a、b、c、d是成比例线段。 如果 ，则ad=bc;如果 ，则 即 ； 如果 ，则 （∵a、b、c、d为线段，∴ ）。 证明四条线段成比例问题，是常见的一种类型证明题，此类型题如果能清晰地给学生讲明思 路，学生将会茅塞顿开，他们的聪明才智和奇妙思想都将一齐涌现出来，得到问题的最佳证 明。 一、从基本图形得到四条线段成比例 （1）、平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如基本图 1，L//L//L，L 交L、L、L 于分别于点A、B、C，L 交L 、L 、L 于分别于点D、E、F， 1 2 3 4 1 2 3 5 1 2 3 则AB/BC=DE/EF （基本图1） 此定理课本《几何》第二册并没有给出严密证明，现证明如下： 证明： 连 AE、BD、CE、BF ∵AD//BE//CF ∴S =S ， S =S △ABE △BED △BCE △BE ∵AB/BC=S /S ，DE/EF=S /S △ABE △BCE △BED △BEF ∴AB/BC=DE/EF （2）、由平行线分线段成比例定理的推论得四条线段成例。 如基本图 2、基本图 3 （基本图2） （基本图3） AD/DB=AE/EC 上两图，若 DE//BC，则 AD/AB=AE/AC BD/AB=CE/AC 二、由两个三角形相似得四条线段成比例 这种方法，应用得非常普遍。即把要证明的四条线段放在两个合适的三角形中，通过证明两 个三角形相似，然后应用两个三角形对应边成比例得到证明。 此种方法常规方法大多数同不都能熟练应用，因此不再赘述。 三、引入中介值或替换的思想，得四条线段成比例 例 1、如图，过ABCD 的顶点A 作一条直线与 BD、BC、DC 的延长线分别交于E、F、G，求证： AE 是 EF、EG 的比例中项。 证明： ∵AD//BF，DG//AB ∴EF/AE=BE/DE，AE/EG=BE/DE ∴EF/AE=AE/EG，即AE是EF、EG的比例中项。 以上解法就应用了“引入中介值”的方法。它的原理便是利用等式的传递性，即A=B，B=C， 则A=C。 2、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，AD 的垂直平分线交AD于E，交BC 的延 长线于F，求证：FD=FB·FC2 证明：连AF ∵EF垂直平分AD ∴FA=FD ∴∠FAD=∠FDA ∵∠FAC=∠FAD－∠DAC，∠B=∠FDA－∠BAD 而∠FAD=∠FDA，∠DAC=∠BAD ∴∠FAC=∠B 又∠AFC=∠BFA ∴△FAC∽△FBA 2 ∴FC/FA=FA/BF， FA=FB·FC ∴FD=FB·FC2 以上解法便利用“FA”取代“FD”，证明取代后的四条线段成比例即可。 评注： 本文提供的证明四条线段成比例的三大方法是有机的整体，第一大方法是理论的基石；第二 大方法是第一大方法的应用，第三大方法可化归为一、二两大方法。