概率论在物理学方面的应用.doc

概率论在物理学方面的应用 概率论是现代数学的一个重要学科。 一方面， 他有丰富的数学理论， 与其他 数学学科有深入的相互渗透。另一方面，它与自然科学、技术科学、管理科学、 经济科学以至人文科学有广泛的交叉。 很多问题都可以归结为概率模型， 应用概 率论和随机过程的理论和方法加以研究． 并且这些问题也向概率论提出了新的重 要研究课题。统计物理学便是这样一个新的概率论分支。 概率论与统计物理的联系可以上溯到 19 世纪统计物理建立之初。一个世纪 以来，统计物理学中经常运用概率 ( 统计物理中常用几率这一术语 ) 的概念和方 法， 而数学家也常常探讨统计物理中的概率论问题。 但是似乎并没有从这两个学 科的基础上进行联系 , 这当然和两个学科的发展水平有关。 伽尔顿模板实验。 如图 1 所示， 在一块竖直的木板上有规律地排列着许多钉 子，模板的下端被隔成许多等宽的狭槽， 从顶部中央的漏斗形入口处可投入小球， 板前覆盖玻璃，以使小球留在狭槽内，这个装置叫做伽尔顿板。 设： 层挡板，向左走的概率为 ，小球落下时，向左走的步数为 ，相右走的步 数为 且，落入位置为 ，则有： 且 将 和 式代入 式，则有： 2 所以位移的均方涨落为 相对涨落为： 加尔顿板模型相应参数值以及理论结果： 每个小球的总步数及当班的层数，每一步向右的概率 为 0.5 ，所以有 每个小球的总步数及当班的层数 可以求得小球位移的均方涨落为： 相对涨落为： 实验的一些效果图： ① 当小球个数为 80 时，统计图为图 2： 3 误差为： ②当小球个数为 200 时，统计图为图 3： 误差为： ③ 当小球个数为 5000 时，统计图为图 4： 误差为： 20.40 20.00 100% 2 .00% 20.00 从实验中可以看到， 随着投入的小球数量的增多， 看到落在各槽中的小球数 目是不相等的，靠近入口槽内的小球较多，离入口越远的槽内小球的数目越少。 4 CC C C 可以把小球按槽的分布用笔在玻璃板上画出一条曲线表示。当小球数目较多时， 重复试验发现， 每次得到的分布曲线近似重合。 这个实验说明， 个别粒子的运动 是无规则的、偶然的，大量粒子的运动是确定的、必然的，遵从一定的规律。 物理统计规律之麦克斯韦 -波尔兹曼统计分布〔 M-B 分布〕 麦克斯韦 -波尔 兹曼统计分布是研究近独立经典粒子按能量的最概然分布。 每个量子态中可容纳 的粒子数不受限制， 先讨论 2 个经典粒子放在 3 个量子态中的可能分布， 这种情 况下，可能的占据方式有 32=9 种。 以此推广， Ni 个彼此可以区分的粒子占据 gi 个量子态的可能方式有 giN i 种。 根据概率的乘法原理， N 1 ，N2 ，… Ni ，…个粒子分别占用能级的可能占据方式共 有∏ igiN i 种。由于 N 个粒子是可以区分的， N 个理智分别为 N 1 ，N2 ，… Ni …个 粒子的组合方式也可能有很多种。从 N 个粒子中取出 N 1 个粒子放到能级中去， N i N粒子的组合方式数为N ! N1! N i N 粒子的组合方式数为 在余下的 N-N 1 个粒子中取出Ｎ ( N N 2 !( NN2N N 1N 1 ( N N 2 !( N N2 N N 1 N1 )! 2 个粒子放入能级中去， 粒子的组合方式数为 以此类推，于是可能出现的粒子占据方式总数为 N ! N i ! i i N ig N i g N! i N i N i N i ! 求经典粒子按能量的最概然分布就是求Ω极大值的分布情况。 统计物理学中，费米 -狄拉克统计〔 F-D〕、玻色 -爱因斯坦统计〔 B-E〕和麦 克斯韦 -波尔兹曼〔 M-B 〕是三种重要的统计规律，而它们的得出都与概率论与 数理统计的发展有着密不可分的关系。 概率论与数理统计在实际生活中可以帮助分析各种规律的变化， 如分析经济 的增长、 学生成绩的起伏等。 所以概率论与数理统计的发展， 既促进了包括物理 学等其他学科的发展，又给我们的生活带来了方便。 5