高一寒假第3讲 两角的和与差的余弦、正弦、正切-教师版（高中数学沪教版2020）.docx

第3讲两角的和与差的余弦、正弦、正切 第3讲 两角的和与差的余弦、正弦、正切 我们已经熟记了很多特殊角的三角比，比如，，那么，你知道的三角比吗？ 有两位古希腊数学家托勒密和帕普斯都用几何的方法推导出两角差的余弦公式，接下来我们沿着数学家的足迹来研究上述问题： 思考： （1）如图，矩形中，设，你能用、、的正弦或余弦来表示图中的线段AD、BN、CN吗？ （2）由此你能得出与、的正弦和余弦有什么关系？ 解： （1），， ， . （2）. 上述公式由于几何图形的限制，角、都是锐角且，那么这一结论是否对任意的、都成立呢？  知识梳理 1、两角和与差的余弦、正弦、正切 图（1） 图（2） 设和是两个任意角，把它们的顶点都置于平面直角坐标系的原点（如图1所示），始边都与x轴的正方向重合，它们的终边OA，OB分别与单位圆交于A、B两点．A、B的坐标分别为． 把角的终边OA，OB都绕O顺时针旋转角，分别转到，OB的位置（如图2所示），所以．点A的坐标是，点B的坐标． 根据两点间的距离公式，在图1中，有 在图2中，有 因为，所以 从而得到： ， 所以 . 它对任意角和都成立，这个公式叫做两角差的余弦公式． 如果用代替，则可以得到两角和的余弦公式：. 即，两角和与差的余弦公式 根据诱导公式，我们也可以得到两角和与差的正弦公式： 即 把换成，得两角差的正弦公式： 即 据此我们又可以得出两角和与差的正切公式. 把最后一个分式的分子分母同除以，化简得： ， 同理可得 ， 即  考察梳理 考察1：正用和差角公式化简求值 【例1】（新课程优选）★☆☆☆☆ 求值：（1）；（2）. 【答案】（1）；（2）. 【例2】★☆☆☆☆ （1）（2021华师大二附中高一期末）已知、，，，则______. （2）（2021上海）中，如果，，则_________. （3）（2021建青实验学校高一期中）已知，则_________. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【详解】 （1）因为、，，， 所以，， 则， 故答案为：. （2）在中，因为，，则、均为锐角， 所以，，，因此. 故答案为：. （3）， ． 故答案为：． 【例3】★★☆☆☆ （1）（2018·徐汇区·上海中学高三月考），，且、，则________. （2）（2021·上海市西南位育中学高一期中）已知，，则___________. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 根据，可得：，，从而求得 ，，再根据和余弦的差角公式可求得的值. 【详解】 （1）由，可得：，， 又，，所以，，，， 又因为，所以 ， 故答案为：. 【练习】（2021·上海高一期末）★☆☆☆☆ 设都是锐角，且，则________． 【答案】 【详解】 都是锐角，且， ， 所以，， .故答案为：. 考察2：逆用和差角公式化简求值 【例4】（2021·上海市长征中学）★☆☆☆☆ 化简：_______. 【答案】 【详解】 根据两角差的正弦公式，可知. 故答案为：. 【例5】（2021·上海市民办西南高级中学高一月考）★★☆☆☆ 若，则_________________． 【答案】 【详解】 . 故答案为： 【练习】（2021·上海高一课时练习）★☆☆☆☆ 计算：________． 【答案】 考察3：辅助角公式 根据和差角公式，对于形式的表达式，我们可以做以下化简： ， 因为，即点在单位圆上， 故存在角，使得 ， 所以 即 ， 其中由确定．（通常取） 设进行化简同样可以. 【例6】（2021·上海高一课时练习）★☆☆☆☆ 把下列各式化成的形式. （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】(1) ；(2) ；(3) ，其中满足，；(4) ，其中满足，. 【详解】 (1) 因为，所以 . （2） . （3） 因为，所以， 其中满足，. (4) 因为，所以 ， 其中满足，. 【例7】（2021·上海市南洋模范中学高一期中）★★☆☆☆ 若，则__________. 【答案】 【详解】 解：因为， 所以， 所以， 则， 故答案为：． 【练习】（2021·上海高一专题练习）★★★☆☆ 求函数的值域． 【答案】 【详解】 解：原函数可化为：， （其中）， ，， 两端同时平方得：，， 故原函数的值域为． 考察4：积化和差与和差化积公式 应用两角和的正弦、余弦公式，我们还可以得到以下两组公式： 第一组：积化和差 第二组：和差化积 【例8】（2021·上海高一课时练习）★★★☆☆ 已知，求证：． 【证明】 ， . 【练习】（2021·上海高一专题练习）★★★☆☆ 在中，若，则是__________三角形. 【答案】直角