考研数学一线性代数模拟试卷106_真题-无答案.pdfVIP

考研数学一（线性代数）模拟试卷 106 (总分58,考试时间90分钟) 1. 选择题 选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1. 设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则( ) ． A. (A+B)*=A*+B* B. (AB)*=B*A* C. (A －B)*=A* －B* D. (A+B)*一定可逆 2. 则B －1 为( ) ． A. A－1P1P2 B. P1A －1P2 C. P1P2A －1 D. P2A －1P1 3. 向量组α1，α2，…，αm 线性无关的充分必要条件是( ) ． A. α1 ，α2，…，αm 中任意两个向量不成比例 B. α1 ，α2，…，αm 是两两正交的非零向量组 C. 设A=(α1 ，α2，…，αm)，方程组AX=0 只有零解 D. α1 ，α2，…，αm 中向量的个数小于向量的维数 4. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵A*≠O，且非齐次线性方程组AX=b 有两个不同解η1 ，η2 则下 列命题正确的是( ) ． A. AX=b 的通解为k1η1+k2η2 B. η1+η2 为AX=b 的解 C. 方程组AX=0 的通解为k(η1 －η2) D. AX=b 的通解为k1η1+k2η2+(η1+η2) 5. 设A 为n 阶矩阵，下列结论正确的是( ) ． A. 矩阵A 的秩与矩阵A 的非零特征值的个数相等 B. 若A～B ，则矩阵A 与矩阵B 相似于同一对角阵 C. 若r(A)=r ＜n，则A 经过有限次初等行变换可化为 D. 若矩阵A可对角化，则A 的秩与其非零特征值的个数相等 2. 填空题 1. 设A为n阶矩阵，且|A|=a≠0，则|(kA)*|=_______． 2. 3. 设 α1=，则α1，α2，α3，α4 的一个极大线性无关组为_______，其余的向量用极大线性 无关组表示为_______． 4. 设三阶矩阵A 的特征值为λ1=－1，λ2=－1／2，λ3=1／2，其对应的特征向量为α1，α2， α3，令P=(2α3，－3α1，－α2)，则P－1(A－1+2E)P=_______． 5. 设A=有三个线性无关的特征向量，则a=_______． 3. 解答题 解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1. 2. 设A为n阶矩阵，证明：r(A*)=，其中n≥2． 3. 设α1，α2，…，αn为 个 维线性无关的向量，A 是 阶矩阵．证明：Aα1，Aα2，…， Aαn线性无关的充分必要条件是A 可逆． 4. 设A 为 阶矩阵，若Ak －1α≠0，而Akα=0．证明：向量组α，Aα，…，Ak －1α线性无 关． 5. 设齐次线性方程组其中ab≠0，n≥2．讨论a，b 取何值时，方程组只有零解、有无穷多个 解?在有无穷多个解时求出其通解． 6. (1)求( Ⅰ)，( Ⅱ) 的基础解系；(2)求( Ⅰ)，( Ⅱ) 的公共解． 设A ，B ，C ，D 都是 阶矩阵，r(CA+DB)= ． 7. 证明r= ； 8. 设ξ1，ξ2，…，ξr，与η1，η2，…，ηs分别为方程组AX=0 与BX=0 的基础解系，证明： ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηs线性无关． 9. 设A 是m× 阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b 满足r(A)=r()=r＜ ．证明：方程组AX=b 的线性无关的解向量的个数最多是 －r+1 个． 10. 设A=有三个线性无关的特征向量，且λ=2为A 的二重特征值，求可逆矩阵P ，使得P －1AP 为对角矩阵． 设A 为三阶矩阵，ξ1，ξ2，ξ3是三维线性无关的列向量，且Aξ1=－ξ1+2ξ2+2ξ3，Aξ2=2ξ1 －ξ2－2ξ3，Aξ3=2ξ1－2ξ2－ξ3． 11. 求矩阵A 的全部特征值； 12. 求|A*+2E|． 设方程组为矩阵A 的分别属于特征值λ1=1，λ2=－2，λ3=－1 的特征向量． 13. 求A ； 14. 求|A*+3E|． 15. 求a，b 及正交矩阵P ，使得PTAP=B． 16. (1)设A ，B 为n 阶矩阵，|λE－A|=|λE－B|，且A ，B 都可相似对角化，证明：A～B ．(2) 设A=，矩阵A ，B 是否相似?若A ，B 相似，求可逆矩阵P ，使得P －1AP=B． 17. 设A 为n 阶正定矩阵．证明：对任意的可逆矩阵P ，PTAP 为