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7.4 B样条曲线 1、确定了控制多边形的顶点个数为n+1个，也就确定了曲线的次数为n次； 2、控制多边形与曲线的逼近程度较差，次数越高，逼进程度越差； 3、曲线不能局部修改，调整任何控制点的位置，将会引起整条曲线的改变； 4、Bezier曲线的拼接比较复杂。 Bezier曲线虽然有许多优点，但也存在不足之处： 1、比Bezier曲线更贴近控制多边形，曲线更光滑（很容易达到C2连续性）。 2、多项式的次数可根据需要指定，而不像Bezier曲线多项式的次数是由控制点的个数来确定。 3、增加了对曲线的局部修改功能，控制多边形的顶点对曲线的控制灵活而直观。 4、广泛应用于交互式自由曲线曲面设计。 B样条曲线优点 7.4 B样条曲线 7.4.1 B样条曲线的定义 给定m+n+1个控制点Ph（h＝0，1，2，…，m+n） ，n次B样条曲线段的参数表达式为： 其中， 为B样条基函数，其形式为 i= 0,1,2,…,m；k=0,1,2,…,n 7.4.4 B样条曲线的性质 1.连续性 二次B样条曲线只能达到C1连续性。 二次B样条曲线的连续性 图7-28 三次B样条曲线的连续性 三次B样条曲线可达到C2连续性。一般地，n次B样条曲线具有n-1阶导数的连续性。 2.局部性质 在B样条曲线中，n次每段B样条曲线受n+1个控制点影响，改变一个控制点的位置，最多影响n+1个曲线段，其它部分曲线形状保持不变。 二次B样条曲线局部顶点修改 三次B样条曲线局部顶点修改 7.5 B样条曲面 B样条曲面是B样条曲线的二维推广，给定(m＋1)×(n+1)个控制点Pi,j(i=0,1,…,m；j=0,1,…,n)，m×n次B样条曲面的定义为 （u，v）∈〔0，1〕×〔0，1〕 式中，Pi,j（i＝0，1，…，m；j＝0，1，…，n）是（m+1）×（n+1）个控制点。 是B样条基函数。 7.5.1 B样条曲面的定义 和 16个控制点的双三次B样条曲面 基于MFC使用双三次B样条曲面绘制的花瓶 （a）线框图与控制多边形 （b）线框图与光照纹理贴图 双三次B样条曲面绘制的花瓶 * 一类规则曲线--具有确定描述函数的曲线，如圆锥曲线、正弦曲线、渐开线等。 另一类不规则曲线--由离散点构造函数来描述，称为拟合曲线或自由曲线。如最小二乘法拟合曲线、三次参数样条拟合曲线、Bezier曲线、B样条曲线等众多曲线。规则曲面--用初等解析函数完全清楚地表达全部形状。如平面、圆柱面、圆锥面、球面、圆环面等组成。 不规则曲面--由离散点构造函数来描述形状，称为拟合曲面或自由曲面。如Bezier曲面、B样条曲面等，汽车车身、飞机机翼和轮船船体等曲面。汽车的曲线与曲面如图7-1所示。 * 样条曲线不仅通过各有序型值点，并且在各型值点处的一阶和二阶导数连续，也即该曲线具有导数连续、曲率变化均匀的特点。在计算机图形学中，样条曲线是指由三次多项式曲线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定的连续性条件，而样条曲面可用两组正交样条曲线来描述。 两种曲线的交点处，两条曲线的切线是垂直的 * 工程中，常用的曲线是三次曲线，高次曲线由于稳定性差很少直接使用。 * 工程中应用最为广泛的曲面片是由两个三次参数（u,v）定义的曲面片，称为双三次曲面片。 对非参数形式表示的曲线曲面进行变换，必须对曲线曲面上的每个型值点进行几何变换，不能对其方程进行变换；而对参数形式表示的曲线曲面可以对其参数方程直接进行几何变换。 * 通常单一的曲线段或曲面片难以表达复杂的形状，必须将一些曲线段连接成组合曲线，或将一些曲面片连接成组合曲面，才能描述复杂的形状。为了保证在连接点处光滑过渡，需要满足连续性条件。组合曲线，或组合曲面时，为了保证在连接点处光滑过渡，需要满足连续性条件。 * 德卡斯特里奥算法 样条插值曲线 * 几种典型的Bezier曲线。 Bezier曲线由控制多边形惟一定义，Bezier曲线只有第一个顶点和最后一个顶点落在控制多边形上，且多边形的第一条边和最后一条边表示了曲线在起点和终点的切矢量方向，其它顶点则用于定义曲线的导数、阶次和形状，曲线的形状趋近于控制多边形的形状，改变控制多边形的顶点位置就会改变曲线的形状。 * 式中，Pi（i＝0，1，2……n）是控制多边形的n+1个控制点，控制多边形是连接n条边构成的多边形。Bi,n(t) 是Bernstein基函数，其表达式为： 在实际应用中，最常用的是三次Bezier曲线，其次是二次Bezier曲线，高次Bezier曲线一般很少使用。 * B表示的是Bernstein基函数。 * 如图7-12所示，红色曲线为B0