东北师范大学《离散数学》课件-第五章.pdfVIP

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离散数学 第五章 第五章 数论基 第五章 数论基 础 础 第五章 数论基础 第五章 数论基础  §5.1 整除性 辗转相除  §5.2 互质 质因数分解  §5.3 合同 一次同余式  §5.4 秦九韶定理 Euler 函数  §5.5 一元高次同余式 二次剩 余 §5.1.1 整除及其性质 §5.1.1 整除及其性质 定义 5.1.1 设 a 和 b 是任意整数,若存 在整数 c ,使得 a=bc ,则说 a 是 b 的倍 数, b 是 a 的因数。或者说 a 被 b 整除 ,而 b 整除 a 。记为 b|a 。 显然,任意数整除 0 ,特别 0|0 ; 1 (- 1 )整除任意整数。 定理 5.1.1 定理 5.1.1 对任意整数 a 和 b , b 0 ,唯一存在一 对任意整数 a 和 b , b 0 ,唯一存在一 对整数 q 和 r ,使得 0 ≤r < |b| , 对整数 q 和 r ,使得 0 ≤r < |b| , a=qb+r 。 q 称为 ( 不完全 ) 商数, r 称 a=qb+r 。 q 称为 ( 不完全 ) 商数, r 称 为 a 被 b 除的余数。 为 a 被 b 除的余数。 证明 : (1 ) 当 b > 0 时,存在性成立。 1 b 0 证明 : ( ) 当 > 时,存在性成立。 看函数 y=bx, x Z 。 因为 b > 0 ,所以 是 x 看函数 y=bx, x Z 。 因为 b > 0 ,所以 是 x 的单调递增函数,且当 x+∞ 时, +∞ ; 的单调递增函数,且当 x+∞ 时, +∞ ; 当 x -∞ 时,  -∞, 从而存在 q ,使得 x=q 当 x-∞ 时, -∞, 从而存在 q ,使得 x=q 时, y≤a ; x=q+1 时  a 。即 bq≤a , b(q+1) 时, y≤a ; x=q+1 时  a 。即 bq≤a , b(q+1)  a 。令 r=a-bq ,则 r ≥0 且 r b 。于是  a 。令 r=a-bq ,则 r ≥0 且 r b 。于是 < b 定理 5.1.1 定理 5.1.1 (2 ) 当 b=-b’ 0 时,存在性成立。 2 b=-b’ 0 ( ) 当 时,存在性成立。 由 (1) 知,存在 q’ , r’ ,使得 由 (1) 知,存在 q’ , r’ ,使得 a=q’b’+r’ , 0≤r’ b’ 。取 q=-q’ , r=r’ , ≤ a=q’b’+r’ , 0 r’ b’ 。取 q=-q’ , r=r’ , 则得 a=-qb’+r =qb+r , 0≤r -b 。 ≤ 则得 a=-qb’+r =qb+r , 0 r -b 。 综合 (1) , (2) 对任意 b (b 0) ,都有 综合 (1) , (2

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