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离散数学
第六章-群
第六章 群
第一讲 代数系统的基本概念
Galois
§6.1 代 数 系 统
对于代数系统而言 , 运算是它的决定
性因素 , 因 此, 必须首先明确运算的
概念。
在代数系统中二元代数运算用得最多 ,
所以我们给出其定义并讨论其性质。
定义 6.1.1 设 S 是一个非空集合,称
S×S 到 S 的一个映射 f 为 S 的一个二
元代数运
算,即 , 对于 S 中任意两个元素 a,b,
通过 f, 唯一确定 S 中一个元素 c :
f (a , b ) = c ,常记为 a * b = c
。
例如, S={a,b},
则 S×S={(a,a),(a,b),(b,a),
(b,b)}
映射 f 为: (a,a)a
(a,b)a
(b,a)b
(b,b)b
f 称为 S 的一个二元代数运算,有
f(a,a)=a
f(a,b)=a
f(b,a)=b
f(b,b)=b, 也可表示为:
a*a=a,a*b=a,b*a=b,b*b=b
有限集合 S 上的一个二元代数运算,也可以
用一个运算表来表示:
例如,设 S={1 , -1} 运算 * 为普通的乘法
运算,则
* 1 -1
1 1 -1
-1 -1 1
上面例子的运算表就可以表为:
* a b
a a a
b b b
例 6.1.1 自然数集 N 上的加法和乘法是 N 上的二元
代数运算;减法和除法不是 N 上的二元代数运算
,因为两个自然数相减或相除可能得到的不是自
然数。
例 6.1.2 整数集 Z 上的加法、减法、乘法都是 Z
上的二元代数运算 ; 除法不是 Z 上的二元代数运
算 .
例 6.1.3 非零实数集 R* 上的乘法、除法是 R* 上
的二元代数运算;加法和减法不是 R* 上的二元代
数运算,因为两个非零实数相加或相减可能得出
0 。
例 6.1.4 矩阵加法和乘法是 n 阶实矩阵集合上的
二元代数运算。
例 6.1.5 设 S 是一个非空集合, ρ (S ) 是 S
的幂集,则集合的交运算∩、并运算∪是 ρ (S
)上的二元代数运算。
定义 6.1.2 设 * 是集合 S 上的二元代数
运算,如果对于 S 中任意两个元素 a , b
,
等式 a * b = b * a 都成立,则称运算 “*
” 满足交换律。
例如 , 整数上的加法,整数上的乘法。
例如, S={a,b} 运算 * 如下 , 不满足交换
律 * a b
a a a
b b b
定义 6.1.3 设 * 是集合 S 上的二元代数
运算,如
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