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立体几何高考真题大题 所以二面角 F-BC-A的余弦值为中. 考点：1.平行关系；2.异面直线所成角的计 算. 【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问 题.解答此题，关键在于能利用直线与直线、 直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通 过严密推理，给出标准的证明.立体几何中的 角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、 空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选 择方法.此题能较好的考查考生的空间想象能 力、逻辑推理能力转化与化归思想及根本运 算能力等. 4.(2023高考天津理数)如图，正方形ABCD的中心为0,四边形0BEF为矩形，平面0BEF 平面ABCD,点G为AB的中点，AB=BE=2. (I )求证：EG〃平面ADF； (II)求二面角0-EF-C的正弦值;试卷第10页，总27页 (in)设H为线段AF上的点，且AH=]HF,求 直线BH和平面CEF所成角的正弦值. 【答案】(I )详见解析(II) # (IU) 4 J.JL 【解析】试题分析：(I)利用空间向量证明线面平行, 关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方 向向量垂直进行论证(II)利用空间向量求二 面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数 量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二 面角相等或互补关系求正弦值(IU)利用空间 向量证明线面平行，关键是求出面的法向量， 再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据 向量夹角与线面角互余关系求正弦值 试题解析：依题意， OF ± 平面ABC。9 如图，以。为 点，分别以而，丽，丽的方向为x轴，y轴、z轴的 正方向建立空间直角坐标系，依题意可得0(0,0,0), A(-l,l,0),B(-l,-l,0),C(l,-l,0),以1,1,0), ￡(-1,-1,2), F(0,0,2),G(-l,0,0)?试卷第11页，总27页 (I )证明：依题意,AD = (2,0,0),AT = (1,-1,2)点= (x,yz)为平面AD尸的法向量，那么 2户\ n.不妨设z = l,可得心((W), x-y + 2z = Q 7EG = (0,1,-2)9 可得诙苗=0, 又因为直线 EG0平面/9 所以 ￡6//平面4)b? [II)解：易证，砺= (-1,1,0)为平面O跖的一个法 向量.依题意， EF = (1,1,0),CF = (-1,1,2). 设%=(%,y,z)为囱的法向量， 囱的法向量， 囱的法向量，-EF = Q那么E _ 囱的法向量， -EF = Q 那么E _ n2 CF = 0 x+y = Q -x+y + 2z = 0 ?不妨设尤=1, 因此有 COS OA,n^=因；= _乎，于是 sin OA,n^=^- 9~阿㈣ 3-3 所以，二面角 O-EF-C的正弦值为(皿)解:由 (皿)解:由4”二所 (皿)解:由4”二所AH=-AF5 (皿)解:由4”二所 AH=-AF5 .因为通=(12), 所以加=1 m进而有 2) D Dy 试卷第12页，总27页 丽偌扑因此X瓯勇赢甘.所以,直 线 BH 和平面 CEF所成角的正弦值为今. 乙1考点：利用空间向量解决立体几何问题 5. (2023年高考北京理数)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD _L平面ABCD9 PA1PD 9 PA = PD9 AB±AD9 AB = 19 AD = 2, AC = CD = 45 . (1 )求证：PQ_L平面FAB； (2)求直线M与平面PCD所成角的正弦值;PCD? PCD? PCD?在棱尸A上是否存在点M PCD? 在棱尸A上是否存在点M , 使得 假设存在，求普的值；假设不存在，说 AP 【答案】⑴见解析；⑵⑶存在，警二3AP 4 【解析】试题分析：(1)由面面垂直性质定理知AB± 平面 PAD； 根据线面垂直性质定理可知 AB±PDf 试卷第13页，总27页 再由线面垂直判定定理可知PDJL平面PA8； (2)取AQ的中点0,连结P。，CO,以。为坐标原点建 立空间直角坐标系。-斗，利用向量法可求出直 线总与平面P8所成角的正弦值；(3)假设存在，根据 在，根据A, P, M三点共线, 在，根据A, P, M三点共线,AM 在，根据A, P, M三点共线, AM = A AP 根据 BMH平面 PCD 9 即的”0,求/的值，即可求出生AP 的值. 试题解析：(1)因为平面E4Z)_L平面ABCD9 ABlADf 所以AB JL平面PAD 9 所以 ab±pd9又因为PA_LPD,所以PZ)_L平面PA3； (2)取AD的中点。，连结PO, CO 9 因为 PA = PD , 所以 POLAD. 又因为 POu平面PAD,平面PAZXL平面 ABCD9 所以PO_L平面因为COu平面ABCD