高三数学基础达标知能演练复习题54.docVIP

[基础达标] 1．(2014·河南郑州模拟)已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A， A．10 km B．10eq \r(3) km C．10eq \r(5) km D．10eq \r(7) km 解析：选D． 如图所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700， ∴AC＝10eq \r(7)(km)． 2. 两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80° 解析：选D．由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°. 3．(2013·高考天津卷)在△ABC中，∠ABC＝eq \f(π,4)，AB＝eq \r(2)，BC＝3，则sin∠BAC＝(　　) A．eq \f(\r(10),10) B．eq \f(\r(10),5) C．eq \f(3\r(10),10) D．eq \f(\r(5),5) 解析：选C．由余弦定理可得 AC＝eq \r(BA2＋BC2－2BA·BCcos∠ABC) ＝eq \r(2＋9－2×\r(2)×3×\f(\r(2),2))＝eq \r(5)，于是由正弦定理可得eq \f(BC,sin∠BAC)＝eq \f(AC,sin∠ABC)，于是sin∠BAC＝eq \f(3×\f(\r(2),2),\r(5))＝eq \f(3\r(10),10). 4．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 A．11.4 B．6.6 C．6.5 D．5.6 解析：选B．∵AB＝1 000×1 000×eq \f(1,60)＝eq \f(50 000,3) m， ∴BC＝eq \f(AB,sin 45°)·sin 30°＝eq \f(50 000,3\r(2)) m. ∴航线离山顶h＝eq \f(50 000,3\r(2))×sin 75°≈11.4 km. ∴山高为18－11.4＝6.6 km 5．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　) A．10eq \r(2)海里 B．10eq \r(3)海里 C．20eq \r(3)海里 D．20eq \r(2)海里 解析：选A．如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得eq \f(BC,sin 30°)＝eq \f(AB,sin 45°)，解得BC＝10eq \r(2)(海里)． 6. 如图，一艘船上午9∶30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，且与它相距8eq \r(2) n mile.此船的航速是________n mile/h. 解析：设航速为v n mile/h， 在△ABS中AB＝eq \f(1,2)v，BS＝8eq \r(2)，∠BSA＝45°， 由正弦定理得eq \f(8\r(2),sin 30°)＝eq \f(\f(1,2)v,sin 45°)，则v＝32. 答案：32 7. (2013·高考福建卷)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝eq \f(2\r(2),3)，AB＝3eq \r(2)，AD＝3，则BD的长为________． 解析：∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝eq \f(2\r(2),3)， ∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD， ∴BD2＝18＋9－2×3eq \r(2)×3×eq \f(2\r(2),3)＝3， ∴BD＝eq \r(3). 答案：eq \r(3) 8．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m 解析： 如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)， ON＝AOtan 30°＝eq \f(\r(3),3)×30＝10eq \r(3)(m)， 在△MON中，由余弦定理得， MN＝ eq \r(900＋300－2×30×10\r