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第三章 有心力场中粒子的运动 章 • 中心力场（14） • 开普勒问题（15） • 潮汐（16） • 相对论修正（ 17） 一章中我们从狭义相对论的时空观和最小作用量原理出发讨论了力学体系的经典 运动方程以及对称性的影响。这一章中我们将着重讨论一个有心力场中的经典 动力学问题。特别重要的是所谓开普勒问题，也就是两个质点之间由万有引力相互作用的 力学问题。这个问题一直是伴随着力学的成长不断发展的问题。我们将首先讨论最为简单 的两体问题，说明它如何分解为质心的运动和相对运动。随后我们会讨论开普勒问题。这 之后我们将讨论对经典开普勒问题的偏离。这包括几个不同的因素的影响，例如潮汐问题 和相对论效应对于行星近日点进动的修正。 14 中心力场 ¶考虑两个质量分别为m1 和m2 的粒子，通过一个有心势 相互作用的力学体系。所 • • • 谓有心势是指两者相互作用的势能仅仅是两个粒子之间距离的函数。因此，体系的拉格 朗日量可以写为： 1 1 2 2 L = m v + m v V (|x x |) , (3.1) 1 1 2 2 1 2 2 2 其中v ，v 分别是两个粒子的速度；x ，x 分别是两个粒子的位置；V (r) 是两个粒子 1 2 1 2 之间的势能。地球人都知道，这样的一个两体问题可以完全分解为两个一体问题。由于 这个力学体系的总的动量是守恒的，因此两个粒子组成的体系的质心的速度是常矢量。 43 理论力学 为了方便我们取一个特定的惯性系使得两个粒子组成体系的质心速度为零。这样的参 照系被称为质心系 ，并且质心就位于坐标架的原点。同时，我们引入两者的相对坐标： • • • x= x x ，于是： 1 2 x = m x/(m + m ) , x = m x/(m + m ) . (3.2) 1 2 1 2 2 1 1 2 因此，只要求出了x(t) 我们就可以分别求出两个粒子的运动轨道。利用相对坐标x，拉格 朗日量变为： 1 ˙2 L = mx V (r) , (3.3) 2 其中m = m m /(m + m ) 为两个粒子的约化质量，r = |x| 为两个粒子的相对距离。我 1 2 1 2 们看到，这个两体问题在质心的运动与相对运动完全分离之后变为一个单粒子在有心力 场中的运动问题。 ¶转动不变性告诉我们，这样的一个有心力场问题中粒子的角动量一定是守恒的。因 此，我们可以将粒子的角动量取为沿z 轴的方向。这样一来，粒子的运动轨道将完全处在 xy 平面内。采用更为方便的极坐标(r, )，粒子的拉格朗日量可以写为： 1