回归正交试验设计.doc

《试验设计与数据处理》8 回归正交试验设计 - PAGE 1 -（文档修改密码123） 8 回归正交试验设计 前面介绍的正交试验设计是——种很实用的试验设计方法，它能利用较少的试验次数获得较好的试验结果，但是通过正交设计所得到的优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定试验范围内的最优方案；回归分析是一种有效的数据处理方法，通过所确立的回归方程，可以对试验结果进行预测和优化，但回归分析往往只能对试验数据进行被动的处理和分析，不涉及对试验设计的要求。如果能将两者的优势统一起来，不仅有合理的试验设计和较少的试验次数，还能建立有效的数学模型，这正是我们所期望的。回归正交设计(orthogonal regression design)就是这样一种试验设计方法，它可以在因素的试验范围内选择适当的试验点，用较少的试验建立一个精度高、统计性质好的回归方程，并能解决试验优化问题。 8.1 一次回归正交试验设计及结果分析 一次回归正交设计就是利用回归正交设计原理，建立试验指标(y)与m个试验因素x1，x2，……，xm，之间的一元回归方程： (8－1) 或者 k=1，2，…，m－1（j≠k） (8－2) 8. (1)确定因素的变化范围 根据试验指标y，选择需要考察的m个因素xj (j＝1，2，…，m)，并确定每个因素的取值范围。设因素xj的变化范围为[xj1，xj2]，分别称xj1和xj2为因素xj的下水平和上水平，并将它们的算术平均值称作因素xj的零水平，用xj0。表示。 (8－3) 上水平与零水平之差称为因素xj的变化间距，用△j表示，即： (8－4) 或 (8－5) (2)因素水平的编码 编码(coding)是将xj的各水平进行线性变换，即： (8－6) 式(8—6)中zj就是因素xj的编码，两者是一一对应的。显然，与xj1，xj0和xj2的编码分别为－1，0和1，即zj1＝－1，zj2＝0，zj2＝1。一般称xj为自然变量，zj为规范变量。因素水平的编码结果可表示成表8—1。 对因素xj的各水平进行编码的目的，是为了使每个因素的每个水平在编码空间是“平等”的，即规范变量zj的取值范围都在[1，－1]内变化，不会受到自然变量xj的单位和取值大小的影响。所以编码能将试验结果y与因素zj (j＝1，2，…，m)各水平之间的回归问题，转换成试验结果y与编码值zj之间的回归问题，从而大大简化了回归计算量。 表8－1 因素水平编码表 规范变量zj 自然变量xj x1 x2 … xm 下水平(－1) x11 x21 … xm1 上水平(1) x12 x22 … xm2 零水平(0) x10 x20 … xm0 变化间距△j △1 △2 … △m (3)一次回归正交设计表 将二水平的正交表中“2”用“－1”代换，就可以得到一次回归正交设计表。例如正交表L8(2 表8－2 一次回归正交设计表 试验号 列 号 l 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 l l 1 2 1 l 1 －1 －1 －1 －1 3 1 －1 －1 1 1 －1 －l 4 1 －1 －1 －1 －1 1 1 5 －1 1 －1 l －1 1 －1 6 －1 1 －1 －1 1 －1 1 7 －1 －l l l －1 －1 1 8 －1 －1 1 －1 l l －1 代换后，正交表中的编码不仅表示因素的不同水平，也表示了因素水平数值上的大小。从表8－2可以看出回归正交设计表具有如下特点： 任一列编码的和为0，即： (8－7) 所以有 ， (8－8) 任两列编码的乘积之和等于零，即： ， (8－9) 这些特点说明了转换之后的正交表同样具有正交性，可使回归计算大大简化。 (4)试验方案的确定 与正交试验设计类似，在确定试验方案之前，要将规范变量zj安排在一元回归正交表相应的列中，即表头设计。 例如，需考察三个因素x1、x2、x3，可选用L8(27)进行试验设计，根据正交表L8(27)的表头设计表，应将x1、x2、x3分别安排在第1、2和4列，也就是将zl，z2，z3安排在表8－2的第1、2和4列上。如果还要考虑交互作用x1 x2、x1x3，也可参考正交表L8(27)的交互作用表，将zlz2和z2