东北农业大学《离散数学》课件-第一节 集合论的基础 刘老师.pptxVIP

集合论基础 集合的初见;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; 0.99365 = 0.03 lim 0.99n = 0 n →∞; 1891 年, 意大利数学家皮亚诺公开发表了基于序数的自然数定义公理。这组公理包括： 1 0 是自然数； 2 每个自然数 n 都有一个后继，这个后继也是一个自然数，记为 S(n)； 3 两个自然数相等当且仅当它们有相同的后继，即 m = n 当且仅当 S(m) = S(n)； 4 没有任何自然数的后继是 0； 5 (归纳公理) 若 φ 是关于一个自然数的预测，如果●φ(0) 为真； 0当 φ(n) 为真，则 有 φ(S(n)) 为真；则 φ(n) 对任意自然数 n 都成立。; 20 世纪初，集合称为数学的基本概念之后，数学奇才，计算机之父冯 ● 诺依曼基于基 数，利用一个集合的序列来定义自然数： 1 ? e N 2 若n e N, 则n′ 三 n u {n} e N。 从而，这个集合序列的基数就可以来定义自然数： 0 三 I?I; 1 三 I? u {?}I = I{?}I; 2 三 I{?} u {{?}}I = I{?, {?}}I; ．．．; e 对于两个有限集合而言， 比较二者的大小只需要看集合的基数， 但对于无限集合 却没有这么简单。如何比较无限集合的“大小”呢？ 这里需要采用一种通过判断 两个无限集合之间是否存在一种一一对应的关系来解决这个问题。; e 由等势定义可以看出，如果 A = B，那么 A ~ B ，反之却不成立。; 例 试证明下列集合都是可数集合. (1) O+ = {xIx e N, x是正奇数}; (2) P = {xIx e N, x是素数}; (3) 有理数集合Q;; 所以 O+ 是可数集合。 在 P 与 N 之间建立一个一一对应关系 φ2 : N l P 如下∶ 0 1 2 3 4 5 6 7 业 业 业 业 业 业 业 业 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 2 3 5 7 11 13 17 19 所以 P 是可数集合。; 在 Q 与 N 之间建立一个一一对应关系 φ3 : N → Q 如下图所示。注意，所有有理数以 p/q 的形式表示，其上标表示对应的自然数。; e 从有限到无限， 不仅仅是简单数量上的变化 (量变)， 而引起了本质的改变 (质变)。 两个无限集合的“大小”已经不能单纯使用集合中的元素个数来衡量。 N0 表示一切可数集合的基数，是???种抽象的表达。 表面上个数完全不相等的两个集合之间仍可能存在等势关系，如集合与其真 子集之间，这体现了有限集合和无限集合的根本差别。; 例 闭区间 [0, 1] 是不可数集合; { 【 实数集合 R 是不可数集合. n → tanπ(; THE END, THANKS!