3可降阶的高阶微分方程教程.pptx

可降阶高阶微分方程 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 一、 令 因此 即 同理可得 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 型的微分方程 例1. 解: 例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 Ox 轴作直线 运动, 在开始时刻 随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减 直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 解: 据题意有 t = 0 时 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小, 求质点的运动规律. 初速度为0, 且 对方程两边积分, 得 利用初始条件 于是 两边再积分得 再利用 故所求质点运动规律为 型的微分方程（方程不显含y) 设 原方程化为一阶方程 设其通解为 则得 再一次积分, 得原方程的通解 二、 例3. 求解 解: 代入方程得 分离变量 积分得 利用 于是有 两端再积分得 利用 因此所求特解为 三、 型的微分方程(方程不显含x) 令 故方程化为 设其通解为 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解 例4. 求解 代入方程得 两端积分得 (一阶线性齐次方程) 故所求通解为 解: 例5. 解初值问题 解: 令 代入方程得 积分得 利用初始条件, 根据 积分得 故所求特解为 得 内容小结 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 令 思考与练习 1. 方程 如何代换求解 ? 答: 令 或 一般说, 用前者方便些. 均可. 有时用后者方便 . 例如, 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号. 速度 大小为 2v, 方向指向A , 提示: 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示, 则有 去分母后两边对 x 求导, 得 又由于 设物体 A 从点( 0, 1 )出发, 以大小为常数 v 备用题 的速度沿 y 轴正向运动, 物体 B 从 (–1, 0 ) 出发, 试建立物体 B 的运动轨迹应满 足的微分方程及初始条件. ① 代入 ① 式得所求微分方程: 其初始条件为 即 内容总结 可降阶高阶微分方程。一、 型的微分方程。二、 型的微分方程。即。依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .。例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 Ox 轴作直线。随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减。直到 t = T 时 F(T) = 0 .。t = 0 时。设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) .。原方程化为一阶方程。1. 方程。2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题。答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.。(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.。大小为 2v, 方向指向A ,。提示: 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示, 则有。去分母后两边对 x 求导, 得。设物体 A 从点( 0, 1 )出发, 以大小为常数 v。的速度沿 y 轴正向运动,