《高等数学（上册）》（阳平华）645-4教案 第五章 第21课 二阶常系数线性微分方程.doc

21第 21 第 课 二阶常系数线性微分方程 二阶常系数线性微分方程 二阶常系数线性微分方程 第 课 21 PAGE 2 PAGE 2 PAGE 3 PAGE 3 二阶常系数线性微分方程 二阶常系数线性微分方程 第 课 21 课题 二阶常系数线性微分方程 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法。 （2）掌握二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法。 思政育人目标： 通过学习二阶常系数线性微分方程的解法，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神。 教学重难点 教学重点：二阶常系数线性微分方程的概念 教学难点：二阶常系数线性微分方程的解法 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min） 第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 考勤（2 min） 【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解（33 min） 【教师】讲解二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法，并通过例题介绍其应用 由上节课学习的定理2知，要解出方程（5-28）的通解，只要找出其两个线性无关的特解即可．由于方程（5-28）的左端是，及的线性关系式，且，都是常数，要使，，三项之和为零，那么，，应该是同一类型的函数．而指数函数与其各阶导数只相差一个常数因子，因此可猜想方程（5-28）具有（为待定常数）形式的解．下面将代入方程（5-28），看看应该满足什么条件． 对求一阶、二阶导数得 ，， 把，，代入方程（5-28）得 ， 由于，故有 ． （5-29） 这表明，只要是代数方程（5-29）的根，那么就是微分方程（5-28）的解．代数方程（5-29）称为微分方程（5-28）的特征方程，特征方程的根称为特征根．这样就把求微分方程解的问题转化为求特征方程根的问题． 根据特征方程（5-29）的根 有相异实根、重根、共轭复根3种情形，现分别进行如下讨论． （1）当时，特征方程有两个相异的实根，此时微分方程（5-28）对应的两个特解为．因为 不是常数，故，线性无关，方程（5-28）的通解为 ． （2）当时，特征方程有两个相等的实根，记为，这时可得方程（5-28）的一个特解．但还需要再找另一个与线性无关的特解，即常数．故可设，其中为待定函数． 假设是方程（5-28）的解，且 ， ， 将代入方程（5-28），可得 ． 因为，故有 ， 又因为为特征根，即 ，， 故有． 简单起见，取特解，则是方程（5-28）的与线性无关的一个特解，故方程（5-28）的通解为 (为任意常数)． （3）当时，特征方程（5-29）有一对共轭复根，设为 其中，这时微分方程（5-28）有两个复数解，即 ． 而实际常用的是实数形式的解，因此还需对上述两个特解做一些处理．应用欧拉公式，可将变形为为 ， ． 记，，由5.4节的定理1知都是微分方程（5-28）的解，且 ， 不是常数，故和线性无关，因此方程（5-28）的通解为 ． 综上所述，求解二阶常系数齐次线性方程通解的步骤及结论如下： （1）写出对应的特征方程； （2）求出特征方程的根； （3）根据两个特征根的不同情形，写出微分方程（5-28）的通解，如表5-1所示． 表5-1 特征方程的根 方程的通解 两个不等实根： 两个相等实根： 一对共轭复根： 例1 求微分方程的通解． 解 特征方程为，解出特征根，故所求微分方程的通解为 (为任意常数)． 例2 求微分方程满足初始条件的特解． 解 先求出通解，再求满足初始条件的特解． 特征方程为，特征根为二重根，故微分方程的通解为 ． 代入，求得；因为 ， 代入，求得．故微分方程满足题中初始条件的特解为 ． 例3 求微分方程的通解． 解 特征方程为，求解得共轭复根为 ， 即，故原方程的通解为 ． 【学生】掌握可降阶的微分方程的解法 学习二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 课堂测验 （10 min） 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 【学生】做测试题目 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识