《高等数学（上册）》（阳平华）645-4教案 第四章 第16课 换元积分法.doc

第 第 课 换元积分法 16 换元积分法 换元积分法 第 课 16 PAGE 6 PAGE 6 PAGE 7 PAGE 7 换元积分法 换元积分法 第 课 16 课题 换元积分法 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）能熟练地利用第一、二类换元积分法计算不定积分。 （2）记住常见的凑微分形式。 思政育人目标： 通过学习不定积分的换元积分法，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯。 教学重难点 教学重点：第一、二类换元积分法的相关定理 教学难点：用第一类换元法计算不定积分 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min） 第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 考勤（2 min） 【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解（33 min） 【教师】讲解第一类换元法，并通过例题介绍其应用 定理1（第一类换元法） 设具有原函数，可导，则有换元公式 ． 第一类换元积分法又称为凑微分法，主要解决复合函数不定积分的计算问题． 例1 求不定积分． 解 ， 将变量代入，即得 ． 例2 求不定积分． 解 令，于是 ． 例3 求． 分析 ． 解 令，则 ． 结论 例2、例3可以总结出的凑微分形式为 ． 例4 计算不定积分． 分析 可以考虑． 解 ． 例5 求． 分析 类似于例4，可以考虑． 解 ． 结论 例4、例5可以总结出的凑微分形式为 ． 通常情况下，除了上述两种凑微分形式，还有很多其他情形．下面给出一些常用的凑微分公式，利用它们可以灵活地进行积分计算． （1）；（2）； （3）；（4）． （5）； （6）． （7）；（8）． （9）；（10）． 例6 求． 解 ． 例7 求． 解 ． 例8 求． 解 ． 例9 求． 解 ． 例10 求． 解 ． 下面介绍含三角函数的不定积分计算． 例11 求． 解 ． 类似可得． 例12 求． 解 ． 例13 求． 解 ． 例14 求． 解 ． 例15 求． 解 ． 例16 求． 解 ． 因为 ， 所以，所求不定积分又可表示为 ． 例17 求． 解 ． 【学生】掌握第一类换元法的应用 学习第一类换元法，及其应用。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 课堂测验 （10 min） 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 【学生】做测试题目 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 第二节课 知识讲解（20 min） 【教师】讲解第二类换元法，并通过例题介绍其应用 定理2（第二类换元法） 设是单调、可导函数，并且，具有原函数，则有换元公式 ， 其中是的反函数． 用到第二类换元法的不定积分主要有两种类型：（1）简单无理函数的类型（例18、例19）；（2）三角函数代换法类型（例20、例21）． 例18 求． 解 令，则，，所以 ． 例19 求． 解 被积函数中出现了两个不同的根式，为了同时消去这两个根式，可以作如下代换． 令，则，，从而 ． 结论 一般地，如果积分具有以下形式，则其可以进行如下相应代换： （1），可令； （2），可令，其中是，的最小公倍数． 运用这些代换可以将被积函数中的根号去掉，将被积函数转化为有理函数． 例20 求． 解 设，那么 ，， 于是 ． 结合具体图像（见图4-2）可以得出，，，则，，所以 ． 图4-2 例21 求． 解 设，那么 ，， 于是 ． 结合具体图像（见图4-3）可以得出，，，所以 ， 其中． 图4-3 补充公式? （14）； （15）； （16）； （17）； （18）； （