《高等数学(上册)》(阳平华)645-4教案 第三章 第13课 函数的极值与最值.doc

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13第 13 第 课 函数的极值与最值 函数的极值与最值 函数的极值与最值 第 课 13 PAGE 6 PAGE 6 PAGE 7 PAGE 7 函数的极值与最值 函数的极值与最值 第 课 13 课题 函数的极值与最值 课时 2课时(90 min) 教学目标 知识技能目标: (1)掌握函数极值的求法。 (2)掌握函数最值的求法,及其在实际问题中的应用。 思政育人目标: 通过学习函数极值和最值的求法,及其在实际问题中的应用,使学生体会到数学概念是源于实际生活的,数学与我们的生活是息息相关的;培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力;引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘,在实践中深化认识,达到学以致用的目的。 教学重难点 教学重点:函数极大值和极小值的定义、第一充分条件和第二充分条件 教学难点:函数极值的和最值的求法 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课:考勤(2 min)→知识讲解(33 min)→课堂测验(10 min) 第2节课:知识讲解(20 min)→问题讨论(10 min)→课堂测验(10 min)→课堂小结(5 min) 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 考勤 (2 min) 【教师】清点上课人数,记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性,掌握学生的出勤情况 知识讲解 (33 min) 【教师】讲解函数极值及求法,并通过例题介绍其应用 定义1 设函数在点的某个邻域内有定义,如果对任意的,有(或),则称是函数的极大值(极小值),称为极大值点(极小值点). 函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点. 定理1(第一充分条件) 设函数在的某一邻域上连续,且在去心邻域内可导,则下列结论成立: (1)若时,,时,,则在点取得极大值; (2)若时,,时,,则在处取得极小值; (3)若时,为正(或为负),则在处不能取得极值. 例1 求函数的极值. 解 的定义域为,且时, . 令,得驻点,是函数的不可导点,它们把定义域分成三部分,现列表做如下讨论,如表3-4所示. 表3-4 1 不存在 0 ↗ 0 ↘ ↗ 所以,极大值为,极小值为. 例2 求函数的极值. 解 的定义域为,且时 . 显然,没有驻点,是函数的不可导点,它把定义域分成两部分,现列表做如下讨论,如表3-5所示. 表3-5 2 不存在 ↗ 1 ↘ 所以的极大值是,没有极小值. 如果函数在其驻点处存在二阶导数,且,我们可以利用下述定理判别函数在驻点处取得极值. 定理2(第二充分条件) 设函数在点有二阶导数,且,,则当时,函数在处取得极大值;当时,函数在处取得极小值. 证明 因为,所以若,由极限保号性知,存在的邻域,使时,.又因为,所以, 当时,,当时,,由定理1可知是的极大值点.同理可证,若,是的极小值点. 例3 求函数的极值. 解 的定义域为,且 ,. 令,得驻点,.又,,所以的极大值为,极小值为. 例4 求函数的极值. 解 的定义域是,在上存在任意阶导数,故其极值点只能在驻点取得.由,令,得驻点,,,. 由,可知 ,. 由定理2知,是极小值点,极小值为.由于,故定理2无法判别,是否是极值点.由可知的正负由决定,故时,在其邻域内所有点都使;时,在其邻域内所有点都使.由定理1可知,不是函数的极值点. 【学生】掌握函数极值及求法 学习函数极值及求法。边做边讲,及时巩固练习,实现教学做一体化 课堂测验 (10 min) 【教师】出几道测试题目,测试一下大家的学习情况 【学生】做测试题目 【教师】公布题目正确答案,并演示解题过程 【学生】核对自己的答题情况,对比答题思路,巩固答题技巧 通过测试,了解学生对知识点的掌握情况,加深学生对本节课知识的印象 第二节课 知识讲解 (20 min) 【教师】讲解函数的最大值与最小值,并通过例题介绍其应用 若函数在上连续,则在上一定能取得最大值与最小值. 函数的最值可能在区间的端点上取得,也可能在区间内部取得.如果最值点在区间的内部,则它必为极值点.因此,求闭区间上连续函数的最值可按下列步骤进行: (1)计算,找出函数在内所有的驻点和不可导点; (2)计算函数在驻点、不可导点和区间端点处的值; (3)将上述函数值进行比较,其中最大、最小者就是函数在区间上的最大、最小值. 例5 求函数在上的最大值与最小值. 解 . 令,得驻点,由导数的定义知是函数的不可导点.由于,,,,所以函数在上的最大值是,最小值是. 在工农业生产和经济活动中,经常要解决诸如产品用料最省、成本最低、效益最大等问题,这类问题常可归结为求一个函数(也

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