三角形等高模型-例题+巩固+答案.doc

PAGE |初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲 第页 PAGE PAGE 1 三角形的等高模型 例题精讲 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图 ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图； 反之，如果，则可知直线平行于． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 【例题1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形． 【解析】⑴ 如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一： ⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考： ⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考： 【例题2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上． ⑴ 求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？  【解析】因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时， 它们的高都是从A点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等． 于是：三角形ABD的面积=12高÷2=6×高 三角形ABC的面积=（12+4）×高÷2=8×高 三角形ADC的面积=4×高÷2=2×高 所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的4/3倍； 三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍． 【例题3】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米． 【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半， 即4×3÷2=6(平方厘米)． 【巩固1】如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米． 【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于 平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于 平行四边形面积的一半，为50÷2=25平方厘米． 【巩固2】如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是 ． 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半， 为20×12÷120． 【例题4】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积． 【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用． 连接BH、CH． ∵AE=EB， ∴S△AEH=S△BEH 同理，S△BFH=S△CFH，S△CGH=S△DGH， ∴S阴影=S长ABCD÷2=56÷2=28(平方厘米)． 【巩固3】图中的EFG分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 ． 【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段． 把H和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状 各不相同的三角形．这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们 的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了3个三角形， 右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个 三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等． 因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH、BCH和CDH的三分之一，因此 全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48． 【例题5】长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？ 【解析】寻找可利用的条件， 连接BH、HC，如下图： 可得：、、，而 即； 而，． 所以阴影部分的面积是： 【巩固4】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,△求阴影部分面积． 【解析】连接PA、PC． 由于△PAD与△PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的1/4，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的1/6，所