工程传热学：第九章 流动与传热的数值计算.ppt

* * 第九章作业 习题：1、4、5、22 华中科技大学热科学与工程实验室 HUST Lab of Thermal Science Engineering 能源与节能技术 §1-1 热量传递基本方式 (第一级) 1 热传导 (第二级) ① 第三级 要点(第四级) 正文及其它 * * 第九章 流动与传热的数值计算 §9-1 数值计算的基本思想 *§9-2 流动与传热的数值计算 §9-3 Saints2D软件简介 首先，我们以导热问题为例，介绍计算区域离散化的概念、内节点与边界节点方程式的建立方法、节点方程组的求解过程，以及非稳态导热问题的显示与隐示差分格式。 然后，介绍在上述思想的基础上开发的流动与传热计算软件Saints2D，并给出传热问题虚拟实验的计算示例。 * * §9-1 数值计算的基本思想 数值求解通常是对微分方程直接进行数值积分或者把微分方程转化为一组代数方程组再进行求解。这里要介绍的是后一种方法。 如何实现从微分方程到代数方程的转化又可以采用不同的数学方法，如有限差分法、有限元法和边界元法等。这里仅向读者简要地介绍用有限差分析方法从微分方程确立代数方程的处理过程。 有限差分法的基本思想是把原来在时间和空间坐标中连续变化的物理量（如温度、压力、速度和热流等），用有限数目的离散点上的数值集合来近似表达。有限差分的数学基础是用差商代替微商（导数），而几何意义是用函数在某区域内的平均变化率代替函数的真实变化率。 * * 在图9-1中可以看出有限差分表示的温度场与真实温度场的区别。图中用T0、T1、T2…表示连续的温度场T；Δx为步长，它将区域的x方向划分为有限个数的区域，Δx0、Δx1、Δx2…，它们可以相等，也可以不相等。 当Δx相等时，T1处的真实变化率a可以用平均变化率b、c或d来表示，其中b、c和d分别表示三种不同差分格式下的温度随时间的变化率 b为向后差分格式 c为向前差分格式 d为中心差分格式 * * 这种差分格式也可以推广到高阶微商（导数）的情形。对于二阶导数的差分格式可以在一阶差分格式的基础上得出： 采用这样的处理之后，反映温度场随时间、空间连续变化的微分方程就可以用反映离散点间温度线性变化规律的代数方程来表示。当利用相应的数学办法求解这些代数方程组之后，我们就能获得离散点上的温度值。这些温度值就可以近似表示温度场的连续的温度分布。 从上面的分析不难看出，当我们要对流动与传热问题进行数值求解时一定要采取三个大的步骤，即： a) 研究区域的离散化； b) 散点（节点）差分方程的建立； c) 节点方程（代数方程）的求解。 * * 1 时间与空间的离散化 当进行数值求解时,首先要做的事情是在所研究的时间和空间区域内把时间和空间分割成为有限大小的小区域。图9-2表示了长柱体矩形截面上区域离散化的情况。 对于给定的空间区域，在x方向上的步长为Δx，在y方向上的步长为Δy，用它们作为空间尺度可以将矩形区域划分成纵横交错的网格 系统，计算区域就被这些网格线分隔成一系列的小的区域，称为控制面积，对于三维情况则为控制体积或控制容积，因而常在一般意义上称之为控制体；控制体的中心点称为节点。 * * 控制体的形状是随着坐标系的不同而改变的，这里的控制体是一个个的矩形面积。网格的步长在每一个方向上可以均匀划分，也可以不均匀的划分；所得到网格，相应地被称为均匀网格或者非均匀网格。 选用不同的步长和不同的划分方法，可以将同一区域划分出不同大小、不同数目的控制区域，以及不同数目的节点数。 获得每个节点上的温度值，就是导热数值计算的目的。显然，随着步长的不断减小，节点数目的不断增加，由节点温度表示的离散的温度场就会更加接近连续的温度场，但计算工作量也会随之增加。 在时间方向上离散化的步长常用Δτ来表示，Δτ的选取也是可大可小的，也可以随时间的进程而变化。显然，无限小的时间步长Δτ亦会使得离散温度变化接近连续的温度改变，但随之而来的是相应的计算工作量将会增加。 * * 2 节点方程的建立 建立节点差分方程可以采用不同的方法，主要分为两大类： 第一类包括泰勒(Taylor)级数展开法和多项式拟合法，它偏重于从数学的角度进行推导，其优点是便于对离散方程进行数学特性分析，但缺点是变步长网格的离散方程形式复杂、导出过程的物理概念不清晰、不能保证差分方程具有守恒特性。 第二类包括控制体热平衡法和控制容积积分法，其优点是推导过程的物理概念清晰、离散方程系数具有一定物理意义、保证差分方程具有守恒特性，但缺点是不便于对离散方程进行数学特性分析。 下面我们采用控制体热平衡