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均值不等式与柯西不等式在竞赛问题中的应用
均值不等式在求最值中应用广泛,均值不等式与柯西不等式在证明不等式中发挥着重要作用,本文列举几个例题说明理由.
例题1.已知正数满足,求的最小值.
解:,
等号成立当且仅当.
的最小值为29.
例题2已知正数满足,求的最小值.
解:由柯西不等式与均值不等式得
等号成立当且仅当
的最小值为.
例题3已知正数满足,求的最小值.
解:应用均值不等式得
等号成立当且仅当
的最小值为.
均值不等式与柯西不等式在证明不等式中起着关键作用,且看下面例题.
例题4设ABC三边长为,求证:
证明:因为ABC三边长为,由三边长度大小知
由柯西不等式得
所以只需证,
等价于证明
由均值不等式
知只需证明
不妨设则
所以
例题5设是正实数,求证:
证明:由柯西不等式得
,
所以只要证
等价于
由三元均值不等式得上式成立.
练习:
1.设求证:.
2..:
3.在中,当n3时,求证:
4.已知求证:
5.已知a,b,c是正数,求证:
练习题答案
1.设求证:.
证:易证.
这是正确的.因为
2..:
Proof:
3.在中,当n3时,求证:
证:由均值不等式,柯西不等式,排序不等式得
4.已知求证:
证明:
由AM-GM得上式成立.
(2)
由AM-GM得上式成立.
所以
5.已知a,b,c是正数,求证:
证:不妨设则
由均值不等式知
所以,所以
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