（8）立体几何中的向量方法--高考数学一轮复习空间向量与立体几何能力进阶加时练.docx

【通用版】（8）立体几何中的向量方法 --高考数学一轮复习 空间向量与立体几何能力进阶加时练 1.若已知两个向量，，则平面ABC的一个法向量为( ) A. B. C. D. 2.如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 3.在正三棱柱中，已知，D在棱上，且，则AD与平面所成的角的正弦值为( )A. B. C. D. 4.如图，已知四棱锥的底面ABCD是等腰梯形，，且，AC与BD交于点O，底面ABCD，，，E，F分别是AB，AP的中点，则二面角的余弦值为( )A. B. C. D. 5.已知三棱锥中，，且SA，SB，SC两两垂直，P是三棱锥外接球的球面上一动点，则点P到平面ABC的距离的最大值是( )A. B. C. D. 6.如图，正方体的棱长为1，中心为O，，，则四面体的体积为( )A. B. C. D. 7.如图，在直三棱柱中，，，，.若在线段AB上存在点D，使得平面，则点D满足( ) A. B. C. D. 8.如图，在正方体中，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是( )A. B. C. D. 9.如图，点为矩形所在平面外一点，平面为线段的中点，，则点到平面的距离为( ) A. B. C. D. 10.如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，且，，，平面ABCD，于E.给出下列四个结论：①；②平面PAC；③平面ABE；④，其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 11.正三棱柱的所有棱长都相等，则与平面所成角的余弦值为__________________. 12.如图，在棱长为2的正方体中，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上，若P，Q均为动点，则PQ的最小值为_____________. 13.在长方体中，，，Q是线段上一点，且，则点Q到平面的距离为____________. 14.已知点E，F分别在正方体的棱，上，且，，则平面AEF与平面ABC所成角的正切值为________________. 15.已知四棱柱的底面为菱形，平面. (1)证明:平面; (2)求二面角的余弦值.  答案以及解析 1.答案：A 解析：设平面ABC的法向量，由，，得所以令，解得所以，故选A. 2.答案：B 解析：取AC的中点O，连接OP，OB， ，， 平面平面ABC，平面平面 ， 平面ABC， 又，， 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 是等腰直角三角形，，为等边三角形， ，，，， ，， . 异面直线AC与PD所成角的余弦值为.故选B. 3.答案：A 解析：取AC的中点E，连接BE，则，如图，建立空直角坐标系Bxyz，则，，则.平面平面， ，平面， 为平面的一个法向量.设AD与平面所成的角为，则，故选A. 4.答案：B 解析：以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题易得，则，，，分别是AB，AP的中点，，，，.设平面OEF的一个法向量为，则即令，可得，易知平面OAE的一个法向量，则，由图知二面角为锐角，二面角的余弦值为.故选B. 5.答案：C 解析：三棱锥满足SA，SB，SC两两垂直，且，SA，SB，SC是棱长为1的正方体上具有公共顶点S的三条棱，以B为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，因此，，.设平面ABC的一个法向量为，则令，得.易知三棱锥的外接球就是棱长为1的正方体的外接球，是三棱锥外接球的球面上一动点，由正方体与球的几何性质可得，当点P与点N重合时，点P到平面ABC的距离最大，点P到平面ABC的距离的最大值为.故选C. 6.答案：D 解析：如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，因此，，，所以，，.易得，所以.设平面EBF的一个法向量为，则令，得，所以点O到平面EBF的距离为，所以四面体的体积. 7.答案：B 解析：，，，，，在直三棱柱中，AC，BC，两两垂直.以C为原点，CA，CB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.设点，则，设平面的一个法向量为，则即令，则.若平面，则，易得，所以①.由D在AB上，得，即②，由①②可得，，即D为AB的中点，故. 8.答案：B 解析：设正方体的棱长为2，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设，则，，，设平面的一个法向量为，则即令，得，所以.因为，所以，所以，由于，所以，故选B.