初中数学竞赛几何题50题含答案.docx

试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页 试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页 初中数学竞赛几何题50题含答案 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．已知，如图，四边形中，，，，，．试判断点，，，是否在同一圆上；若在，请证明，并求出该圆的面积；若不在，请说明理由． 2．直线与x轴交于A，与y轴交于C点，直线BC的解析式为，与x轴交于B． （1）如图1，求点A的横坐标； （2）如图2，D为BC延长线上一点，过D作x轴垂线于点E，连接CE，若，设的面积为S，求S与k的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，连接OD交AC于点F，将沿CF翻折得到，直线FG交CE于点K，若，求点K的坐标． 3．在圆周上任取21个点，证明：以这些点为端点的弧中至少存在100条不超过的弧． 4．平面上给出n个不全共线的点，求证：存在一条直线，它恰通过其中两个点． 5．在直径为5的圆内放入10个点，证明其中必有两点的距离小于2． 6．平面上7个点，它们之间可以连一些线段，使7个点中任意三点必存在两点有线段相连．问最少要连几条线段？证明你的结论． 7．设是凸五边形，将沿方向平移，使移到得到凸五边形．证明：中至少有两个图形，它们有公共内点． 8．在一个半径等于6的圆内任意放入六个半径等于1的小圆．证明：其中总还有一块空位置，可以完整地放入一个半径为1的小圆． 9．设甲是边长为1的正三角形纸片，乙是边长为1的正方形纸片，丙是边长为1的正五边形纸片，丁是边长为1的正六边形纸片．证明： （1）不能用甲、乙、丙合起来盖住一个半径为1的圆； （2）能用甲、乙、丙、丁合起来盖住一个半径为1的圆． 10．任意凸四边形中总存在一条对角线和一条边，以它们为直径的两个圆可以覆盖这个四边形． 11．已知，，，为平面上两两距离不超过1的任意4点，今欲作一圆覆盖这4点（即，，，在圆内或圆周上）问圆的半径最小该是多少？试证明之． 12．将4张圆形纸片放在桌面上，使得其题中任何3张圆形纸片都有公共点，那么这4张圆形纸片是否一定有公共点？证明你的结论． 13．平面上给定了若干个圆，它们覆盖的面积为1．证明：从中可选出若干个两两不重叠的圆，使它们覆盖的面积不小于． 14．证明：一个边长为5的正方形可以被3个边长为4的正方形所覆盖． 15．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变． （1）求证：AF⊥FM； （2）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN＝∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明． 16．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为的正方形，高为，内有深的溶液，现将此容器倾斜一定角度（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①，②均为容器的纵截面）． （1）当时，通过计算说明此溶液是否会溢出； （2）现需要倒出不少于的溶液，当等于时，能实现要求吗？通过计算说明理由． 17．两人和相约在12点与下午1点之间在某地会面，先到的人要等候另一人20分钟，过时就可以离开．如果每人可在指定的一小时内任何时刻到达，并且两人到达的时刻是彼此独立的（即一人到达的时刻与另一人到达的时刻没有影响），试计算两人能会面的概率． 18．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲的停泊时间是1小时，乙的停泊时间是2小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率（精确到0.001）． 19．把长为的线段任意分成3条线段，求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率． 20．如图，在平行四边形中，为对角线上一点，且满足，的延长线与的外接圆交于点. 证明：． 21．在直角中，为斜边的中点，、分别在、上，，已知，，，求． 22．在四边形中，，，，求． 23．设整数，，为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）． 24．设整数为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数． 25．已知二次函数的图象与轴的交点分别为、，与轴的交点为．设的外接圆的圆心为点． （1）证明：与轴的另一个交点为定点． （2）如果恰好为的直径且，求和的值． 26．如图，已知为锐角内一点，过分别作，，的垂线，垂足分别为，，，为的平分线，的延长线交于点．如果，求证：是的平分线． 27．已知抛物线的顶点为，与轴的正半轴交于、两点，与轴交于点，是的外接圆的切线．将抛物线向左平移个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点，