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最短路径之Dijkstra算法详细讲解 1最短路径算法 在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望 知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最 短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图(由结点和路径组 成的)中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括： (1)确定起点的最短路径问题：即起始结点，求最短路径的问题。 (2 )确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是终 结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在 有向图中该问题等同于把所有路径方向反转确实定起点的问题。 (3)确定起点终点的最短路径问题：即起点和终点，求两结点之间的 最短路径。 (4 )全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。 用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径 算法，最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、 Floyd-Warshall 算法、Johnson 算法。 本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。 2 Dijkstra 算法 Dijkstra 算法 Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的 最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。 Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效 率低。 Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内 容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。 Dijkstra算法思想 Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分 成两组，第一组为己求出最短路径的顶点集合(用S表示，初始时S中只有一 个源点，以后每求得一条最短路径，就将加入到集合S中，直到全部顶点都加 入到S中，算法就结束了)，第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U 表示)，按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的 过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中 任何顶点的最短路径长度。止匕外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就 是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S 中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 Dijkstra算法具体步骤 （1）初始时，S只包含源点，即S=, v的距离为0。U包含除v外的其他 顶点，U中顶点u距离为边上的权（假设v与u有边）或）（假设u不是v的出边 邻接点）。 （2）从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中（该选定的距 离就是V到k的最短路径长度）。 （3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；假设从源点v到顶点 u （u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，那么修改顶点u 的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。 （4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。 Dijkstra算法举例说明 如下列图，设A为源点，求A到其他各顶点（B、C、D、E、F）的最短路径。 线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。（注：此图为随意所画，其相邻顶 点间的距离与图中的目视长度不能一一对等） 图一：Dijkstra无向图 算法执行步骤如下表：【注：图片要是看不到请到“相册--日志相册”中，名 为“Dijkstra算法过程”的图就是了】Floyd算法实现Floyd算法，并求所示有向图中各顶点之间的最短路径及其长度。 . . 算法思想 采用图的邻接矩阵存储，实现Floyd算法?，数组P[][]口存储是否存在中间点使长度缩 短。 设计描述 数据存储结构类型的定义： typedef struct MGraph{char vexs[M AX_VERTEX_NUM];int arcs [M AX_VERTEX_NUM] [M AX_VERTEX_NUM];int vexnum,arcnum; GraphKind kind;JMGraph; 源程序 #includestdlib.h #includestdio.h //最大值 //最大值 //最大顶点个数 #define MAX_VERTEX_NUM 20 #define TRUE 1 #define FALSE 0 typedef enum{DG, DN, UDG, UDN} GraphKind;//四种图类型 typedef struct MGraph{charvexs[MAX_VERTEX_NUM];// 顶点向量intarcs[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];〃邻接矩阵intvexnum,arcnum;//图的当