16 专题五:角度相关的定值、定关系问题.docx

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专题五:角度相关的定值、定关系问题 1.如图,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一点,EM⊥EN,∠EMA和∠END的平分线交于点F,求∠F的大小。 2.(福田区校级月考)已知,AB∥CD,∠AEC=90°. (1)如图1,当CE平分∠ACD时,求证:AE平分∠BAC; (2)如图2,移动直角顶点E,若∠MCE=∠ECD,求证:∠MCG=2∠BAE. 3.(越秀区校级期中)如图,已知AB∥CD,∠ACD的平分线与AB交于点E. (1)求证:∠ACE=∠AEC; (2)若点F为射线CE上一点. ①连接FA,探究∠FCD、∠FAB和∠AFC之间的数量关系,并证明你的结论; ②点G为线段CE上一点且∠CAG=3∠EAG,当∠GAF+∠AEC=90°时,求∠CAF 专题五:角度相关的定值、定关系问题 1.解:∵AB⊥BC,DC⊥BC, ∴∠B=∠C=90°, ∴∠B+∠C=180°, ∴AB∥CD, ∵EM⊥EN, ∴∠MEN=90°, ∵MF平分∠AME,NF平分∠DNE, ∴∠1=∠2,∠7=∠8, 过F作FQ∥AB,过E作EH∥AB, ∵AB∥CD, ∴AB∥CD∥EH,AB∥CD∥FQ, ∴∠3=∠4,∠5=∠6,∠1=∠MFQ,∠8=∠NFQ, ∴∠MEN=∠4+∠5=∠3+∠6=90°,∠MFN=∠1+∠8, ∵∠1+∠2=180°﹣∠3,∠7+∠8=180°﹣∠6, ∴2∠1+2∠8=180°+180°﹣(∠3+∠6)=360°﹣90°=270°, ∴∠1+∠8=135°, ∴∠MFN=135°。 2.【(1)证明:设∠ECD=x, ∵CE平分∠ACD, ∴∠ACE=x,∠ACD=2x, ∵AB∥CD, ∴∠BAC=180°﹣∠ACD=180°﹣2x, ∵∠AEC=90°. ∴∠EAC=90°﹣x, ∴∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=180°﹣2x﹣(90°﹣x)=90°﹣x, ∴∠BAE=∠CAE, ∴AE平分∠BAC; (2)证明:由(1)可设∠ECD=x, 则∠BAE=90°﹣x, ∴∠ECD=∠ECM=x, ∴∠MCG=180°﹣∠ECD﹣∠ECM=180°﹣2x, ∴∠MCG=2(90°﹣x)=2∠BAE, 即∠MCG=2∠BAE. 3.解:(1)∵AB∥CD, ∴∠AEC=∠DCE, ∵CE平分∠ACD, ∴∠ACE=∠DCE, ∴∠ACE=∠AEC. (2)①当点F在线段CE上时,过点F作FM∥AB,交AC于点M,连接AF, ∴FM∥CD, ∴∠FCD=∠MFC, ∵FM∥AB, ∴∠FAB=∠MFA, ∴∠FCD+∠FAB=∠MFC+∠MFA, ∴∠AFC=∠FCD+∠FAB. 当点F在线段CE的延长线上时,过点F作MF∥AB,连接AF, ∴FM∥CD, ∴∠FCD=∠MFC, ∵FM∥AB, ∴∠FAB=∠MFA, ∵∠MFC=∠MFA+∠AFC, ∴∠FCD=∠FAB+∠AFC. ②如图,点F在线段CE上,∠GAF+∠AEC=90°, ∵∠CAG=3∠EAG, 设∠EAG=x,则∠CAG=3x, ∴∠CAB=4x, 由(1)知,∠ACE=∠AEC, ∴∠ACE=∠AEC=180°-4x2=90 ∵∠GAF+∠AEC=90°, ∴∠GAF=90°﹣(90°﹣2x)=2x, ∴∠CAF=∠CAG﹣∠FAG=3x﹣2x=x,∠EAF=∠EAG+∠FAG=2x+x=3x, ∴∠CAF 如图,点F在线段CE的延长线上,∠GAF+∠AEC=90°, ∵∠CAG=3∠EAG, 设∠EAG=x,则∠CAG=3x, ∴∠CAB=4x, 由(1)知,∠ACE=∠AEC, ∴∠ACE=∠AEC=180°-4x2=90 ∵∠GAF+∠AEC=90°, ∴∠GAF=90°﹣(90°﹣2x)=2x, ∴∠CAF=∠CAG+∠GAF=3x+2x=5x,∠EAF=∠GAF﹣∠EAG=2x﹣x=x, ∴∠CAF∠EAF=

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