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专题五:角度相关的定值、定关系问题
1.如图,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一点,EM⊥EN,∠EMA和∠END的平分线交于点F,求∠F的大小。
2.(福田区校级月考)已知,AB∥CD,∠AEC=90°.
(1)如图1,当CE平分∠ACD时,求证:AE平分∠BAC;
(2)如图2,移动直角顶点E,若∠MCE=∠ECD,求证:∠MCG=2∠BAE.
3.(越秀区校级期中)如图,已知AB∥CD,∠ACD的平分线与AB交于点E.
(1)求证:∠ACE=∠AEC;
(2)若点F为射线CE上一点.
①连接FA,探究∠FCD、∠FAB和∠AFC之间的数量关系,并证明你的结论;
②点G为线段CE上一点且∠CAG=3∠EAG,当∠GAF+∠AEC=90°时,求∠CAF
专题五:角度相关的定值、定关系问题
1.解:∵AB⊥BC,DC⊥BC,
∴∠B=∠C=90°,
∴∠B+∠C=180°,
∴AB∥CD,
∵EM⊥EN,
∴∠MEN=90°,
∵MF平分∠AME,NF平分∠DNE,
∴∠1=∠2,∠7=∠8,
过F作FQ∥AB,过E作EH∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥EH,AB∥CD∥FQ,
∴∠3=∠4,∠5=∠6,∠1=∠MFQ,∠8=∠NFQ,
∴∠MEN=∠4+∠5=∠3+∠6=90°,∠MFN=∠1+∠8,
∵∠1+∠2=180°﹣∠3,∠7+∠8=180°﹣∠6,
∴2∠1+2∠8=180°+180°﹣(∠3+∠6)=360°﹣90°=270°,
∴∠1+∠8=135°,
∴∠MFN=135°。
2.【(1)证明:设∠ECD=x,
∵CE平分∠ACD,
∴∠ACE=x,∠ACD=2x,
∵AB∥CD,
∴∠BAC=180°﹣∠ACD=180°﹣2x,
∵∠AEC=90°.
∴∠EAC=90°﹣x,
∴∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=180°﹣2x﹣(90°﹣x)=90°﹣x,
∴∠BAE=∠CAE,
∴AE平分∠BAC;
(2)证明:由(1)可设∠ECD=x,
则∠BAE=90°﹣x,
∴∠ECD=∠ECM=x,
∴∠MCG=180°﹣∠ECD﹣∠ECM=180°﹣2x,
∴∠MCG=2(90°﹣x)=2∠BAE,
即∠MCG=2∠BAE.
3.解:(1)∵AB∥CD,
∴∠AEC=∠DCE,
∵CE平分∠ACD,
∴∠ACE=∠DCE,
∴∠ACE=∠AEC.
(2)①当点F在线段CE上时,过点F作FM∥AB,交AC于点M,连接AF,
∴FM∥CD,
∴∠FCD=∠MFC,
∵FM∥AB,
∴∠FAB=∠MFA,
∴∠FCD+∠FAB=∠MFC+∠MFA,
∴∠AFC=∠FCD+∠FAB.
当点F在线段CE的延长线上时,过点F作MF∥AB,连接AF,
∴FM∥CD,
∴∠FCD=∠MFC,
∵FM∥AB,
∴∠FAB=∠MFA,
∵∠MFC=∠MFA+∠AFC,
∴∠FCD=∠FAB+∠AFC.
②如图,点F在线段CE上,∠GAF+∠AEC=90°,
∵∠CAG=3∠EAG,
设∠EAG=x,则∠CAG=3x,
∴∠CAB=4x,
由(1)知,∠ACE=∠AEC,
∴∠ACE=∠AEC=180°-4x2=90
∵∠GAF+∠AEC=90°,
∴∠GAF=90°﹣(90°﹣2x)=2x,
∴∠CAF=∠CAG﹣∠FAG=3x﹣2x=x,∠EAF=∠EAG+∠FAG=2x+x=3x,
∴∠CAF
如图,点F在线段CE的延长线上,∠GAF+∠AEC=90°,
∵∠CAG=3∠EAG,
设∠EAG=x,则∠CAG=3x,
∴∠CAB=4x,
由(1)知,∠ACE=∠AEC,
∴∠ACE=∠AEC=180°-4x2=90
∵∠GAF+∠AEC=90°,
∴∠GAF=90°﹣(90°﹣2x)=2x,
∴∠CAF=∠CAG+∠GAF=3x+2x=5x,∠EAF=∠GAF﹣∠EAG=2x﹣x=x,
∴∠CAF∠EAF=
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