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专题一：相交线所成角的计算
题型1：角度计算中的方程思想
1．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE：∠EOC＝2：3．
（1）求∠AOE的度数；
（2）若OF平分∠BOE，问：OB是∠DOF的平分线吗？试说明理由．
2．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝2∠BOD+60°．
（1）求∠BOD的度数；
（2）以O为端点引射线OE、OF，射线OE平分∠BOD，且∠EOF＝90°，求∠BOF的度数．
题型2：角度计算中的分类讨论思想
3．如图，已知∠AOB＝40°，画射线OC⊥OA，射线OD⊥OB，画出所有可能的情形并分别求出∠COD的度数．
4．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，如果∠AOC＝30°，OE平分∠BOD，求∠COE（要求：将图形补充完整，写出求解过程）
专题一：相交线所成角的计算
1．解：（1）∵∠AOE：∠EOC＝2：3．
∴设∠AOE＝2x，则∠EOC＝3x，
∴∠AOC＝5x，
∵∠AOC＝∠BOD＝75°，
∴5x＝75°，
解得：x＝15°，
则2x＝30°，
∴∠AOE＝30°；
（2）OB是∠DOF的平分线；理由如下：
∵∠AOE＝30°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝150°，
∵OF平分∠BOE，
∴∠BOF＝75°，
∵∠BOD＝75°，
∴∠BOD＝∠BOF，
∴OB是∠COF的角平分线．
2．解：（1）由邻补角互补，得∠AOD+∠BOD＝180°，
又∵∠AOD＝2∠BOD+60°，
∴2∠BOD+60°+∠BOD＝180°，
解得∠BOD＝40°；
（2）如图：
由射线OE平分∠BOD，得
∠BOE=12∠BOD=12
由角的和差，得
∠BOF′＝∠EOF′+∠BOE＝90°+20°＝110°，
∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝90°﹣20°＝70°．
∴∠BOF的度数为110°或70°．
3．解：如图1，∵OC⊥OA，OD⊥OB，
∴∠AOB+∠BOC＝90°，∠COD+∠BOC＝90°，
∴∠COD＝∠AOB＝40°；
如图2，∵OC⊥OA，OD⊥OB，
∴∠AOC＝∠BOD＝90°，
∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣40°＝50°，
∴∠COD＝∠BOD+∠BOC＝90°+50°＝140°；
如图3，∠COD＝360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠BOD，
＝360°﹣90°﹣40°﹣90°，
＝140°；
如图4，∵OC⊥OA，OD⊥OB，
∴∠AOB+∠AOD＝90°，∠COD+∠AOD＝90°，
∴∠COD＝∠AOB＝40°．
综上所述，∠COD的度数为40°或140°．
4．解：如图1。
，
由OC⊥OD，得
∠COD＝90°．
由角的和差，得∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝60°，
由OE平分∠BOD，得
∠DOE=12∠BOD＝
由角的和差，得
∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°+30°＝120°．
如图2。
，
由OC⊥OD，得
∠COD＝90°．
由角的和差，得∠AOD＝90°﹣∠AOC＝60°，
∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°
由OE平分∠BOD，得
∠DOE=12∠BOD＝
由角的和差，得
∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°+60°＝150°．
综上所述：∠COE是150°或120°．
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