《线性代数》全套课件（共五章完整版）.pptx

;用消元法解二元线性方程组;方程组的解为; 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表;;;;;则二元线性方程组的解为;例1;二、三阶行列式;;; 如果三元线性方程组;若记;记;;;;则三元线性方程组的解为:;例２;例3;例4 解线性方程组;同理可得; 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的.;思考题;思考题解答;故所求多项式为;;一、概念的引入;二、全排列及其逆序数; 在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序.;定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.;计算排列逆序数的方法;分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.;3 2 5 1 4;例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.;解;2 排列具有奇偶性.;思考题;思考题解答;;一、概念的引入;（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列．;二、n阶行列式的定义;说明;例1　计算对角行列式;即行列式中不为零的项为;分析;例3;同理可得下三角行列式;例4 证明对角行列式;证明;1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.;思考题;思考题解答;1-3节 回顾;;一、对换的定义;二、对换与排列的奇偶性的关系;当 时，;;推论;记;定理3 阶行列式也可定义为;下标的逆序数为;例2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.;行标排列341562的逆序数为; 1. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性．;其中 是两个 级排列， 为行 行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.;思考题;思考题解答;;一、行列式的性质;证明;故;于是;例如;性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.;性质４　行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．;性质5　若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.;性质６　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．;例１;;;;;;例2 计算 阶行列式;例3;证明;; (行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).;思考题;思考题解答;;例如;在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作;;引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ．;证;得;得;中的余子式;故得;定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即;例1;; 证;从第n行起，依次将前一行乘（– x1）加到后一行; n-1阶范德蒙德行列式;推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即;;关于代数余子式的重要性质;例３ 计算行列式;例４ 计算行列式;; 1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具. ;第七节 克莱姆(Cramer)法则;设线性方程组;一、克莱姆法则;其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即;证明;由代数余子式的性质可知,;由于方程组 与方程组 等价,;二、重要定理;齐次线性方程组的相关定理;定理　 如果齐次线性方程组 ;例1 用克莱姆法则解方程组;;例2 用克莱姆法则解方程组;例3 问 取何值时，齐次方程组;解;1. 用克莱姆法则解方程组的两个条件;思考题;思考题解答;用化三角形行列式计算;解;提取第一列的公因子，得;;例2;例3;例4;;例5;利用范德蒙行列式计算;解;　　上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知;例7　用数学归纳法;证;;;引;例2 国民经济中的投入产出模型，也可以用矩形数表来表示;一、矩阵的定义;为了标明矩阵的行数 m 和列数 n, 可用 Am?n 表示, ;例如; 如果矩阵 A = (aij) 的行数与列数